Calculo diferencial

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UNIDAD II TEMA I LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Se dice que una función f(x) tiene límite L en el punto x = a, si es posible aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a “a”, siendo distinto de a. Se expresa de la siguiente manera;

El límite de una función cuando x tiende a “a” es una constante L que puede existir o no. Dado el punto “a”, y según la anteriordefinición, existen dos formas de aproximar x a “a”: Limite por la derecha: Cuando x se acerca desde valores mayores que a; x > a, se denota x->a+ Limite por la izquierda: Cuando x se acerca desde valores menores que a, x < a, se denota x->aUnicidad del límite. Para que exista el límite de una función ha de cumplirse que existan los dos límites laterales (por la derecha y por la izquierda) y que ambos seaniguales. Ello se expresa como:

Propiedades de los límites Dadas dos funciones f(x) y g(x) que tienen límite en un punto a, Es decir:

Se cumplen las siguientes propiedades: El limite cuando x->a de una constante es la constante.

El limite cuando x->a de una variable es a

El límite del producto de una constante por una función viene determinado por la multiplicación de la constante porel límite de la función.

El límite de la suma o diferencia de ambas funciones es igual a la suma o diferencia de los límites.

El límite del producto de las funciones es igual al producto de sus límites.

El límite del cociente entre ambas funciones es igual al cociente entre los límites, siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero.
para L2 ≠ 0

Ejemplo Aplicando laspropiedades anteriores resuelva el límite de la siguiente función:

Como podemos observar, en un ejercicio sencillo, se encuentran incluidas casi todas las propiedades como lo son en este caso suma, resta, multiplicación, división, constante, constante por variable. Aplicando propiedades nos queda.

Por lo que:

Al resolver el límite puede darnos como en el caso anterior una constante c, opuede darnos puede darnos la forma
∞ ∞

que sabemos que es igual a 0, o que sabemos no esta definida y en



consecuencia decimos que el limite no existe, o puede darnos formas como: o en cuyo caso decimos que el limite esta

indeterminado y procedemos a eliminar la indeterminación hasta que el resultado sea, c ó 0 ó ∞. Aunque estas no son las únicas indeterminaciones que existen son conestas que vamos a trabajar en el presente curso.

Métodos para la resolución de límites Método por sustitución directa:

Como su nombre lo indica consiste en sustituir directamente X por “a”

Ejemplo Resolver el ejercicio anterior por sustitución directa Sustituimos directamente X por “a” y nos queda:

Método para eliminar la indeterminación Para eliminar esta indeterminación se debesimplificar la función en caso de funciones polinomios utilizamos factor común o/y factorización según el caso y si se trata de funciones con radicales se multiplican el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la que contiene al radical. Ejemplo 1 Halle el límite de la función:

Sustituyendo x por a nos queda:

Para quitar esta indeterminación sacamos como factos común la x demenor exponente:

Una vez simplificada la expresión, sustituimos nuevamente

Donde:

Ejemplo 2 Halle el límite de la siguiente función

Hallamos al límite y vemos que esta indeterminado y procedemos a quitar la indeterminación.

Como no hay factor común factorizamos arriba y abajo y simplificamos

Finalmente

Ejemplo 3 Halle el límite de la siguiente función:

Hallamos al límite yvemos que esta indeterminado y procedemos a quitar la indeterminación.

Como hay un radical, multiplicamos arriba y abajo por la conjugada simplificamos y sustituimos nuevamente.

Sacamos factor común, simplificamos y sustituimos nuevamente

Finalmente

Método para eliminar la indeterminación

∞ ∞

Cuando al resolver el limite aparece esta indeterminación la eliminamos dividiendo...
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