Calculo Diferencial

UNIDAD 1:
1.1.- RECTA NUMERICA
Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. De esta manera, podemos determinar si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica. Para representar números como puntos de una recta puedes proceder de esta manera: -Trazas una recta horizontal y sobre ésta marcas un punto. A ese punto lo llamas 0.

- Eligesuna medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas ubicar varios números) y la utilizas como distancia para marcar el 1 a la derecha del 0, el 2 a la derecha del 1, etcétera. Recuerda, la distancia entre los números debe tener la misma medida:

Decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que esmayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero. Puedes ver que el número 3 está más alejado del 0, es el número más grande que ubicamos en la recta.

1.2 LOS NÚMEROS REALES Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitos cifrasno periódicas. A los números naturales se les llama enteros positivos (1, 2, 3, 4….) Enteros: conjunto de números naturales con sus opuestos y el cero ( -2, -1, 0, 1, 2,….) Todos los racionales y los irracionales, los números racionales tienen representaciones decimales respectivas en tanto que los racionales tienen representaciones no repetitivas infinitas. Representación geométrica se puedenrepresentar sobre una recta de la siguiente manera:

1.3 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES 1.3.1 Tricotomía La ley de tricotomía dice: - Si un número es mayor que otro, no puede ser igual o menor que el. - Si un número es igual que otro, no puede ser mayor o menor que el. - Si un número es menor que otro, no puede ser igual o mayor que el.

La propiedad de tricotomía de números reales indica que,para cualquier dos números reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad: ab.

La ley de tricotomía y surge cuando se induce un orden en un conjunto como los Enteros (Z), o los números reales (R). Estas leyes dicen que. Sin pérdida de generalidad, puedes suponer que a,b son números reales. Si a != b (a es distinto de b) entonces solo puede ocurrir una de estas 3 afirmaciones: a < b (aes menor que b) ó a = b (a es igual con b) ó a > b (a es mayor que b) 1.3.2 Transitividad Una relación binaria R sobre un conjunto A es igual, transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y ese último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero. Ejemplo: si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c. Una relación R estransitiva si aRb y bRc se cumple aRc. 1.3.3 Densidad
Densidad dados a; b ∈ R si a > b entonces existen un elemento x ∈ R tal que a > x y x > b. La propiedad de la densidad es consecuencia directa de la definición de NUMERO REAL, el cual fue creado pensando en la necesidad de tener números “suficientes" para explicar el mundo real. 1.3.4 Axioma del supremo Axioma del supremo Sea A ⊏ R tal que existe k ∈ Rcon la propiedad de que: k > a para toda a ∈ R.

Entonces existe un elemento s ∈ R tal que cumple la propiedad anterior y además si k' es otro número que cumple la propiedad entonces s < k'.

1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. Es de suma importancia en cálculo la noción de resolver una desigualdad. Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los númerosreales que hace que la desigualdad sea verdadera, encontrarse con una ecuación cuyo conjunto solución por lo regular consiste de un numero o quizá de un numero finito de números, el conjunto solución de una desigualdad por lo regular es un intervalo completo de números o en algunos casos la unión de tales intervalos.

TIPOS DE INTERVALO:
*Intervalo Abierto: la doble desigualdad a < x < b....