calculo diferencial

Clases de matemáticas


Teorema de Rolle y Teorema del Valor medio
Teorema de Rolle:
Si f es una función en la que se cumple:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f esdiferenciable en el intervalo abierto (a, b)
(iii) f (a) = 0 y f (b) = 0
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que
f '(c) = 0
El Teorema de Rolle se atribuye al matemático francésMichel Rolle (1652-1719).
En la figura de la derecha se ilustra la
interpretación geométrica del Teorema de
Rolle. Como se puede observar se cumplen las
tres condiciones que requiere el Teorema: f escontinua en [a, b] e integrable en (a, b), y
f (a) = f (b) = 0. También se puede observar el
punto (cuya abscisa es c) donde la recta
tangente a la gráfica de f es paralela al ejex, es
decirdonde se cumple que f '(c) = 0.
El Teorema de Rolle es susceptible de una
modificación en su enunciado que no altera para
nada la conclusión del mismo. Esta se refiere al
punto (iii) f (a) = f (b):basta con que el valor de
la función sea el mismo para x = a y x = b y no
necesariamente sean iguales a cero. En la figura
de la izquierda se ilustra este hecho.

Teorema del Valor medio:
Si f esuna función en la que se cumple que:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) talque

A la izquierda se observa una ilustración de la
interpretación geométrica del Teorema del
Valor medio.
El teorema afirma que si la función es
continua en [a,b] y diferenciable en (a,b),existe un punto C en la curva, entre A y B,
donde la recta tangente es paralela a la recta
que pasa por A y B. Esto es,

Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 3, verifique que las condiciones(i), (ii) y (iii) de la hipótesis del Teorema
de Rolle se cumplen para la función indicada en el intervalo dado. Luego halle un valor
adecuado para c que satisfaga la conclusión del teorema de...