calculo diferncial

¿Que es el calculo diferencial?

[El conjunto de todas las funciones presenta una diversidad tal que es casi imposible descubrir propiedades generales interesantes que convengan a todas ellas. Puesto que las funciones continuas constituyen una clase restringida, cabría esperar que se hallaran algunos teoremas no triviales para ellas... Pero los resultados más interesantes y más penetrantesacerca de funciones sólo se obtendrán cuando limitemos aún más nuestra atención a funciones que tienen mayor derecho aún a recibir el nombre de 'razonables', con un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones continuas.


Historia del calculo difencial

El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por laecuación y = f ( x ), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de un valor x 0 a x 0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y 0 = f ( x 0 ) a y 0 + k = f ( x 0 + h ), por lo que k = f ( x 0 + h ) - f ( x 0 ). Elcociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x 0 a x 0 + h. La gráfica de la función y = f ( x ) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = ( x 0 , y 0 ) y B = ( x 0 + h, y 0 + k ) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo BAC.

Si h tiende hacia 0, para unx 0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x 0 ; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f ( x ), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT , en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. Así, se define la derivada f '( x 0 ) de la función y = f ( x ) en x 0 como el límite que toma k/hcuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:







Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos de f '( x 0 ) indican que f ( x ) crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x 0 . La derivada deuna función es a su vez otra función f '( x ) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f ( x ) = x 2 (parábola), entonces







por lo que k/h = 2 x 0 + h, que tiende hacia 2 x 0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x 0 es por tanto 2 x 0 , y la derivada de f ( x ) = x 2 es f '( x ) = 2 x. De manera similar, la derivada de x m esmx m-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas (véase la tabla adjunta con algunos ejemplos).



Para calcular la derivada de una función, hay que tener en cuenta unos cuantos detalles: primero, se debe tomar una h muy pequeña (positiva o negativa), pero siempre distinta de cero. Segundo, no toda función f tiene una derivada en todas las x 0 ,pues k/h puede no tener un límite cuando h ? 0; por ejemplo, f ( x ) = | x | no tiene derivada en x 0 = 0, pues k/h es 1 o -1 según que h > 0 o h < 0; geométricamente, la curva tiene un vértice (y por tanto no tiene tangente) en A = (0,0). Tercero, aunque la notación dy/dx sugiere el cociente de dos números dy y dx (que indican cambios infinitesimales en y y x ) es en realidad un solo número, ellímite de k/h cuando ambas cantidades tienden hacia cero.

Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si una función f se forma al combinar dos funciones u y v, su derivada f ' se puede obtener a partir de u, v y sus respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v (lo que significa que f ( x ) = u...