Calculo edo

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Cálculo II
Semestre Otoño 2011


Ecuaciones de Orden n Lineales con Coeficientes Constantes

Operador

:

es decir:

1.

2.

Operador Funcional
Sabiendo que

son

funciones devariable real:

Este operador es aplicado a una función

de esta forma:

Ejemplo

Nota

el operador

es lineal:

Propiedades
1.

Es decir, el operador

Página 1

anula a la función.

Cálculo II
Semestre Otoño 2011

Luis Carrasco Valenzuela

2.

3.

4.

Solución de una EDO de Orden 2
Nuestra EDO es del tipo:
En donde:

Ecuación de Segundo Orden conCoeficientes Constantes

i.

Si

(solución homogénea)

ii.

Si

(solución particular)
la solución general de nuestro problema:

Página 2

Cálculo II
Semestre Otoño 2011

Luis CarrascoValenzuela

Solución Homogénea
Resolvamos el problema:
Supongamos que la solución de nuestro problema es:

Entonces debe satisfacer:

Reemplazando en la ecuación:

Como

significa quenecesariamente que

Vale decir: al encontrar los valores para

(polinomio característico)

obtenemos la solución a nuestro problema.

El Teorema Fundamental del Algebra nos dice que el número deraíces de un polinomio es igual a su
grado, entonces ¿cuál de los dos valores de
nos sirve?

Principio de Superposición
Sean

soluciones de la EDO:

entonces
(

Demostración

es solución
essolución

P.d.q.:

también es solución

es decir:
Veamos:

Página 3

también lo es.
constantes)

Cálculo II
Semestre Otoño 2011

Luis Carrasco Valenzuela

Por lo tanto:

essolución de:

Como nuestro polinomio característico es de grado 2, tenemos 2 raíces. Entonces, veamos cómo se
escriben sus soluciones:

1.

Caso dos raíces reales del polinomio característico.

Sison las soluciones de nuestro polinomio característico, entonces la solución se escr ibe:

(
2.

constantes)

Caso dos raíces iguales del polinomio característico.

Sea

son las...
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