Calculo - Funciones

CÁLCULO I


Funciones
Definición Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío.
Una función f , de A en B, es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x, de un conjunto A, un único elemento y de un conjunto B , denotado por y = f (x) . Se simboliza mediante:
f :A→B x a y = f ( x)

Función real de variable real
Se dice que una función es real de variable real cuando tantosu dominio como su rango son subconjuntos de los números reales.

Dominio y rango de una función
Sea f : A → B , con A , B ⊂ R , una función. Al conjunto A se le llama dominio de f y se representa por Dom( f ) . Al subconjunto de B formado por las imágenes de cada uno de los elementos de A , se denomina rango de f y se denota por Ran( f ) . Es decir:

Dom( f ) = {x ∈ A / y = f ( x)}

Ran( f) = { f ( x) / x ∈ A}

Gráfica de una función
Si f es una función con dominio A , entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados {( x ; f ( x )) / x ∈ A } Es decir, la gráfica de f es el conjunto de puntos ( x ; y ) tales que y = f ( x ) o la que corresponde a la ecuación y = f ( x ). La gráfica de una función proporciona información sobre el comportamiento de dicha función. Además,la coordenada y de cualquier punto ( x ; y ) de la gráfica cumple la ecuación y = f ( x ).


CÁLCULO I Funciones Especiales Gráfica de la función seno
Si definimos la función seno por f ( x) = sin x , su gráfica es:


A partir de la gráfica de la función seno mencionamos algunas propiedades de esta función tales como: • • • • • Dominio de la función seno Rango de la función seno Períodode la función seno Máximo valor de la función Mínimo valor de la función : : : : :

R [− 1 ; 1] 2π 1 -1

Gráfica de la función coseno
Si definimos la función coseno por f ( x) = cos x , su gráfica es:

A partir de la gráfica de la función coseno mencionamos algunas propiedades de esta función tales como: • • • • • Dominio de la función coseno: R Rango de la función coseno : [− 1 ; 1] Períodode la función coseno : 2 π Máximo valor de la función : 1 Mínimo valor de la función : -1 Prof. Elton Barrantes

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CÁLCULO I Gráfica de la función tangente


A partir de la gráfica de la función tangente enunciamos algunas propiedades de esta función tales como: •

• •

π   Dominio de la función tangente: R − (2k + 1) / k ∈ Z 2   Rango de la función tangente : RPeriodo de la función tangente: π

Álgebra de Funciones
Sean f y g funciones con dominios A y B. Entonces se definen las siguientes funciones: • ( f ± g )( x) = f ( x) ± g ( x), • ( f · g )( x) = f ( x) · g ( x), •  f ( x) = f ( x) ,   g g ( x)  
Dom( f ± g ) = Dom( f ) ∩ Dom( g ) = A ∩ B Dom( f · g ) = Dom( f ) ∩ Dom( g ) = A ∩ B

f  Dom  ={ x ∈ A ∩ B / g ( x) ≠ 0 } g  Ejercicios
1. Analice el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Justifique sus respuestas.

x−3 x−3 y g ( x) = tienen el mismo dominio. 2x − 1 2x − 1 b) Las funciones f ( x) = x −1 + x − 2 , x ∈[1, 2 [ y g ( x) = 1, x ∈ R tienen el mismo rango. c) La gráfica de ecuación x 2 − y 2 = 0 representa a la gráfica de una función de x.
a) Las funciones f ( x) =

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2. Sea f una función cuya gráfica está dada en la figura.
y 6


• •
 4

°

4 3 (3,3)

°
 2

2 (5,1) 1

•
6 x

–3

–1

1 –1
 2

2

3

4

5

°

Determine: a. Dominio y rango de f. b. El valor de la función en x = -2; x = 4 y en x = 1? c. f (-1+ f (1)) - 4 f (3 - f (3)) + f (- f (4)). d. Los valores de x, para los cuales f (x) >0. e.Los valores de x, para los cuales f (x) < 2. 3. Halle el dominio y rango de las siguientes funciones: a) y = x + 3
2x b) y = 2 x +1 e) y = log( x − 2)

d) y = 2 x + 1

x − 4x − 5 c) y = x+3 f) y= x + 2
2

4. Esboce la gráfica de las siguientes funciones, determinando en cada caso su dominio y rango. a) f ( x) = − ln(4 − x) b) g ( x) = 1 − 2 ln − x c) h( x) = −5 x d) F ( x) = −5 − x g) l...