calculo II
Semestre 1-2011
TEMA 3
INTEGRAL
IMPROPIA
Semestre
1-2011
José Luis Quintero
Junio 2011
Departamento de
Matemática Aplicada
U.C.V.
F.I.U.C.V.
CÁLCULO II (0252)
Prof.
José Luis Quintero
Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al
estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de la integral impropia.La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de
repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y
propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores,
también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo
más didáctico posible y se espera prestarun apoyo a la enseñanza del Cálculo II en
Ingeniería.
Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora
del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:
quinterodavila@hotmail.com.
INDICE GENERAL
U.C.V.
F.I.U.C.V.
CÁLCULO II (0252)
Departamento de
Matemática Aplicada
Prof.
José Luis Quintero
TEMA 3.INTEGRAL IMPROPIA
3.1.
La integral impropia
151
3.2.
Integrales con integrandos no acotados
151
3.3.
Integrales con intervalos de integración de longitud infinita
154
3.4.
Criterios de convergencia
156
3.5.
Ejercicios resueltos
159
3.6.
Ejercicios propuestos
163
G
LA INTEGRAL IMPROPIA
U.C.V.
F.I.U.C.V.
CÁLCULO II (0252) – TEMA 3Integral Impropia
Pág.: 151 de 170
Prof.
José Luis Quintero
3.1. LA INTEGRAL IMPROPIA
Anteriormente se afirmó que si la función f(x) es continua y positiva en el intervalo
[a,b] con a y b finitos,
∫
b
f(x)dx
a
representa el área bajo la curva, usando el Teorema Fundamental del Cálculo para poder
obtener su valor numérico. Sin embargo, en muchas aplicaciones, físicas omatemáticas, se
formulan integrales donde no se cumplen ciertas condiciones expuestas anteriormente. A
continuación se describen algunas de ellas:
a. El integrando f(x) es tal que lim f(x) = ±∞ con r ∈ [a,b] , tomando límite lateral de ser el
x →r
caso. Es decir el integrando es una función no acotada.
b. El intervalo de integración no es finito, por ejemplo: [a, +∞) , (−∞, a] o bien (−∞, +∞) .Las integrales con alguna de las condiciones anteriores se conocen con el nombre de
integrales impropias. En general, la técnica es transformar la integral impropia en un límite
con una integral definida sobre un intervalo finito donde se pueda aplicar el Teorema
Fundamental del Cálculo.
3.2. INTEGRALES CON INTEGRANDOS NO ACOTADOS
CASO 1. Si f(x) es continua en [a,b) y lim f(x) = ±∞ ,entonces (ver figura 1)
x → b−
∫
b
f(x)dx = lim
r →b −
a
∫
r
f(x)dx .
a
CASO 2. Si f(x) es continua en (a,b] y lim f(x) = ±∞ , entonces (ver figura 2)
x → a+
INTEGRALES CON
INTEGRANDOS NO ACOTADOS
U.C.V.
F.I.U.C.V.
CÁLCULO II (0252) – TEMA 3
∫
b
f(x)dx = lim
r → a+
a
∫
Integral Impropia
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Prof.
José Luis Quintero
bf(x)dx
r
Figura 1. Gráfica del caso 1
Figura 2. Gráfica del caso 2
CASO 3. Si f(x) es continua en [a,b] excepto en r ∈ (a,b) , donde se tiene lim f(x) = ±∞ ,
x →r
entonces
∫
b
f(x)dx =
a
∫
r
f(x)dx +
a
∫
b
f(x)dx
r
En los casos 1 y 2, si los límites existen y son finitos se dirá que la integral impropia
de la izquierda converge, en caso contrariodivergen. En el caso 3, si las integrales impropias
de la derecha convergen ambas se dirá que la integral impropia de la izquierda converge; si
alguna de las integrales impropias de la derecha diverge se dirá que la integral impropia de la
izquierda diverge.
A continuación se dan algunos ejemplos:
INTEGRALES CON
INTEGRANDOS NO ACOTADOS
U.C.V.
F.I.U.C.V.
Integral Impropia
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