Calculo integral - ejercicios con solucion

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y=5x3+8=15x2
y=10w3+3w2=30w2+6w
y=1x5=x-5=-5x-6=5x6
y=3a6x5=3ax56=3a x-56=-563ax-56-66=15a6 x-116=15a6 x116=15a6 6x11
y=62x9+87∙15x7+43=2x9+876∙15x7+43
y´=2x9+876∙315x7+42∙105x6+15x7+43∙762x9+876-66∙18x8
y´=315x62x9+87615x7+42+126x862x9+81615x7+43
y´=315x662x9+87∙15x7+42+126x8662x9+8∙15x7+43
Proponer y resolver derivadas como las que se hicieron en clase
y=15x5+16x4+17x3+18x2+19x+20y´=75x4+64x3+51x2+36x+19
y=9x5+10x4+11x3+12x2+13x+14
y´=45x4+40x3+33x2+24x+13
y=31-x2
y´=131-x2-23-2x=-2x31-x223=-2x331-x22
y=5+9x2
y´=125+9x2-1218x=18x25+9x212=9x5+9x2
y=12+6x2+8x3
y´=1212+6x2+8x3-1212x+24x2=12x+24x2212+6x2+8x312=6x+12x212+6x2+8x3
y=18-20x2
y´=1218-20x2-12-40x=-40x218-20x212=-20x18-20x2
y=18-10x2
y´=1218-10x2-12-20x=-20x218-10x212=-10x18-10x2
y=20+5x2+4x3y´=1220+5x2+4x3-1210x+12x2=10x+12x2220+5x2+4x312=5x+6x220+5x2+4x3
y=3e5x2
y´=3e5x210x=30xe5x2
y=53x-5x24
y=534x-5x23ddxx-5x2=203x-5x231-10x=203-2003xx-5x23

La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente.
Formas de expresar la derivada:
* Df(x)
* dy primera
* dx derivada
* y´dy=y´ ∙∆x
Diferencial
dy=y´∙dx

y=5x3+18
y´=15x2
dy=15x2∙ ∆x

y=919x2+85∙12x8-193
y´=19x2+859∙312x8-192∙96x7+12x8-193∙5919x2+8-49∙38x
y´=288x719x2+85912x8-192+190x12x8-1939919x2+85
dy=190x12x8-1939919x2+85∙∆x

y=25x3-163529x6+8
y´=29x6+815∙325x3-162∙75x2-25x3-163∙1529x6+8-45∙174x5529x6+82
y´=225x229x6+81525x3-162-174x525x3-1635529x6+8529x6+82Calcular la diferencial de la función y=5x2 para x=4 y el ∆x=0.2
y=5x2
y´=10x
dx=104∙∆x
dy=40∙0.2=8

Problemas que se resuelven en forma aproximada calculando el incremento de una función.

Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado 5m si este tiene un aumento de 0.002m.
A=l2
dAdl=2l
dA=2l∙dl
dA=25m∙0.002m
dA=0.02m2

Obtener el valor aproximado del volumen de uncubo de lado 2m al aumentar el lado 0.003m.
A=l3
dAdl=3l2
dA=3l2∙dl
dA=32m2∙0.003m
dA=0.36m3

Si 36=6 calcula el valor aproximado da la 38 utilizando el concepto de diferenciales.
y=x
y´=12x
dy=12x∙∆x
dy=1236∙2
dy=126∙2
dy=112∙2
dy=0.16 | 38=6+dy
38=6+0.16
38=6.16
|

Integrales indefinidas
En el cálculo diferencial se estudia el problema para obtener la derivada f´x deuna función cualquiera f(x). A hora nos ocuparemos del problema inverso, es decir dada la derivada buscaremos obtener la función f(x) (primitiva o función original).
La integración es una operación inversa a la derivación.
Derivada
Ejemplo:

Integración
f´x Derivada 3x3+2 9x2∙dx
f(x) primitiva

3x3+16 9x2∙dx
En los ejemplos anteriores nosdamos cuenta que las expresiones de la izquierda solo difieren de una constante sin embargo, su diferencial es la misma 9x2∙dx ahora bien al integrar las expresiones de la derecha no aparecen esas constantes c que las represente a la cual llamaremos constante de integración.
9x2∙dx=3x3∙c
En la expresión anterior no sabemos cuál es el valor de la constante, es un valor indefinido y por estarazón llamaremos a estas operaciones integrales indefinidas.
Variable de integración
2ab2w∀∙dw
En la expresión anterior con la diferencial de w que nos indica que w es la variable de integración
Formulas de integración indefinida
Siempre que haya una contante como factor (multiplicando) dentro del signo de integración puede anotarse fuera del signo de integral.
c∙dv=cdv
Nota: esto únicamentefunciona para las contantes no es posible hacer lo mismo con las variables.
La integral de una suma algebraica es igual a la suma de los integrales de cada uno de los sumandos.
du+dv-dw=du+dv-dw
dv=v+c
vn dv=vn+1n+1+c | dvv=Ln v+c
av dv=avLn a+c
ev dv=ev+c |

a3 dx=a3dx=a3 x+c
x53 df=x53df=x53 f+c
y49 dy=y49+9949+99+c=y139139+c=9y13139+c=9y131139=99y1313+c
x3+x43+8dx=x3dx+x43...
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