Calculo integral

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Materias Básicas

Cálculo Integral
GUÍA DE ESTUDIO PARA EL 2º EXAMEN DEPARTAMENTAL
(ALUMNO)

Profesor: Luis Alfonso Rondero G.

1

Cálculo Integral El curso de Cálculo Integral aplica los aprendizajes previos de: Álgebra, Geometría, Trigonometría, Geometría Analítica y Cálculo Diferencial, en el estudiosignificativo de las diferenciales, las integrales y el teorema fundamental del Cálculo Integral; así como la aplicación de las fórmulas, los métodos de Integración y la integral definida para resolver ejercicios y problemas de las diferentes áreas de las ciencias. Objetivo General El cálculo proporciona a los estudiantes, ingenieros y tecnólogos los conocimientos necesarios para operar y aplicarfunciones matemáticas con variable real en el planteamiento y solución de situaciones prácticas que llegan a presentarse en su ejercicio profesional. La integración, se considera un eje fundamental para el planteamiento y desarrollo de conceptos que permiten entender y asimilar conocimientos de casi todas las áreas de la ingeniería y la tecnología aplicada, especialmente en la física, parafinalmente abordar temáticas generales del saber específico en el campo profesional. El objetivo principal de ésta guía es la de permitir al estudiante del nivel medio superior acceder a los principales conocimientos del Cálculo Integral de manera sencilla y práctica permitiéndole aplicar los conceptos buscando “el saber que” , “el saber como hacer” y “el saber ser” , para operar con fluidez losprocedimientos algorítmicos del Cálculo Integral en el planteamiento y solución de problemas tendientes a: • Desarrollar habilidades y destrezas que le permitan,mediante el razonamiento,el análisis y la reflexión,interpretar diversos modelos en términos matemáticos. • Proponer y plantear problemas prácticos y teóricos mediante su formulación matemática • Argumentar y justificar el porqué del empleo demodelos matemáticos en la resolución de problemas teóricos y prácticos específicos.

Profesor: Luis Alfonso Rondero G.

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INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Cuando las integrales presentan potencias de funciones trigonométricas es necesario Utilizar diferentes identidades que permitan obtener una nueva expresión trigonométrica más sencilla para facilitar la integración.Las identidades más empleadas son: Sen 2 x + Cos 2 x = 1 Sen 2 x =
1 (1 − Cos 2x ) 2

Sec 2 x - Tg 2 x = 1 Cos 2 x =

Csc 2 x - Ctg 2 x=1

1 (1 + Cos 2x ) 2

Integrales de potencias de la función Seno.
Si las potencias son impares deberás emplear : de donde : Sen 2 x = 1 - Cos 2 x Si las potencias son pares deberás emplear : Ejemplos: Sen 2 x + Cos 2 x = 1

Sen 2 x =

1 (1 − Cos 2x) 2

∫ sen

2

xdx =

∫ 2 (1 − cos 2x )dx

1

=

∫ 2dx − ∫ 2 cos 2xdx
u = 2x du = 2dx du = dx 2

1

1

=

1 1 du 1 1 x − ∫ cos u = x − ∫ cos udu 2 2 2 2 4 1 1 x − sen 2x + c 2 4

=

En algunos textos ésta solución se ve diferente porque se emplea la identidad del ángulo doble: Sen 2u = 2 Sen u Cos u

Profesor: Luis Alfonso Rondero G.

3



1 1 1 1 1 1 x − sen2x = x − (2senx cos x ) = x − senx cos x + c 2 4 2 4 2 2
3

∫ sen

xdx =

∫ senx (sen

2

x dx =

)

∫ senx (1 − cos

2

x dx =

)

= − cos x −

[∫ u

2

(− du)] = − cos x + ∫ u 2 du = − cos x +

u 1 3 = − cos x + cos x + c 3 3

3

Integrales de potencias de la función Coseno.
Si las potencias son impares deberás emplear : de donde : Cos 2 x = 1 - Sen 2 x Silas potencias son pares deberás emplear : Ejemplos: Sen 2 x + Cos 2 x = 1

Cos 2 x = 1 (1 + Cos 2 x )
2

∫ cos x dx

2

1 1 1 (1 + Cos 2x )dx = ∫ dx + ∫ cos 2xdx = 2 2 2 1 1 1 2 ∫ cos x dx = ∫ 2 (1 + Cos 2x )dx = 2 ∫ dx + 2 ∫ cos 2xdx =

=∫

=

1 1 du 1 1 1 1 x + ∫ cos u = x + ∫ cos udu = x + sen2x + c 2 2 2 2 4 2 4

Como: =

Sen 2u = 2 Sen u Cos u

1 1 x + senx cos x + c 2 2...
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