calculo integral
CAMPUS SANTIAGO
Problemas resueltos - Mate 4
Problema 1.
Encuentre el volumen del cuerpo limitado por las superficies:
z = x2 + y 2 y z = 2 − x2 − y2 .
Solución:
x2 + y 2 ≤ 1
z
z
=
x2 + y 2
= 2 − x2 − y 2
=⇒ x2 + y 2 = 2 − x2 − y 2 =⇒ 2 x2 + y 2 = 2 =⇒ x2 + y 2 = 1
Calculando en coordenadas cilíndricas:
2−r 2
1 π/2
V=4
r dz dθ dr
0
0
r2
1 π/2
r(2 − r2 ) − r · r2 dθ dr
=4
0
0
1 π/2
2r − 2r3 dθ dr
=4
0
π
=4·
2
= 2π
0
1
0
2r − 2r3 dr
r2 −
1
r4
2
=π
01
Problema 2. Calcular el volumen de la región determinada por los planos x = 0 , y = x y la superficie
z 2 = 1 − y2 .
Solución:
En coordenadas rectangulares el volumen queda:
√ 2
√
1−y1
y
V=4
1
1−y 2
dx dz dy = 4
0
0
0
1
y dz dy = 4
0
0
y
0
1 − y 2 dy =
4
3
Pasando a coordenadas cilindricas en las variables y y z :
x =
y =
z =
xr cos θ
r sen θ
π
y 0 ≤ x ≤ r cos θ . Observar que con esa variación de θ el volumen queda:
2
1
π
π
r cos θ
1 2
2
2
r2 dr = 4
r dx dθ dr = 4
r cos θ dθ dr = 4
3Con 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤
π
2
1
V=4
0
0
0
0
0
0
2
0
Problema 3.
Hallar el volumen del sólido R, determinado por las ecuaciones x2 + y 2 ≥ 1 y 0 ≤ z ≤ 9 − x2 − y 2 .Solución
z = 9 − x2 − y 2
x2 + y 2 = 1
x2 + y 2 = 9
3 π/2 9−r 2
V =4
3 π/2
r dz dθ dr = 4
1
0
0
1
3
π
=4·
2
= 2π
1
9r − r3 dr = 2π
81 81 9 1
−
− +
24
2 4
3
0
r(9 − r2 ) dθ dr
9r2
r4
−
2
4
= 32π
3
1
Problema 4.
Calcular el volumen del sólido acotado por las superficies x2 + y 2 = 2x , z = x y z = 2x .
Solución:Integrando sobre el disco x2 + y 2 ≤ 2x y pasando a coordenadas polares.
V =
(2x − x) dx dy
x2 +y 2 ≤2x
π/2 2 cos θ
=
−π/2
π/2
=
−π/2
0
r3
3
r · r cos θ dr dθ
2 cos θ
·...
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