calculo integral

Páginas: 3 (713 palabras) Publicado: 8 de junio de 2013
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
CAMPUS SANTIAGO

Problemas resueltos - Mate 4

Problema 1.
Encuentre el volumen del cuerpo limitado por las superficies:

z = x2 + y 2 y z = 2 − x2 − y2 .

Solución:

x2 + y 2 ≤ 1

z
z

=
x2 + y 2
= 2 − x2 − y 2

=⇒ x2 + y 2 = 2 − x2 − y 2 =⇒ 2 x2 + y 2 = 2 =⇒ x2 + y 2 = 1

Calculando en coordenadas cilíndricas:
2−r 2

1 π/2

V=4

r dz dθ dr
0

0

r2

1 π/2

r(2 − r2 ) − r · r2 dθ dr

=4
0

0
1 π/2

2r − 2r3 dθ dr

=4
0

π
=4·
2

= 2π

0
1

0

2r − 2r3 dr

r2 −

1

r4
2


01

Problema 2. Calcular el volumen de la región determinada por los planos x = 0 , y = x y la superficie
z 2 = 1 − y2 .
Solución:

En coordenadas rectangulares el volumen queda:
√ 2

1−y1

y

V=4

1

1−y 2

dx dz dy = 4
0

0

0

1

y dz dy = 4
0

0

y
0

1 − y 2 dy =

4
3

Pasando a coordenadas cilindricas en las variables y y z :
x =
y =
z =

xr cos θ
r sen θ

π
y 0 ≤ x ≤ r cos θ . Observar que con esa variación de θ el volumen queda:
2
 1
  π
π
r cos θ
1 2
2
2
 r2 dr   = 4
r dx dθ dr = 4
r cos θ dθ dr = 4
 
3Con 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤
π
2

1

V=4
0

0

0

0

0

0

2

0

Problema 3.
Hallar el volumen del sólido R, determinado por las ecuaciones x2 + y 2 ≥ 1 y 0 ≤ z ≤ 9 − x2 − y 2 .Solución

z = 9 − x2 − y 2
x2 + y 2 = 1

x2 + y 2 = 9

3 π/2 9−r 2

V =4

3 π/2

r dz dθ dr = 4
1

0

0

1

3

π
=4·
2

= 2π

1

9r − r3 dr = 2π

81 81 9 1

− +
24
2 4

3

0

r(9 − r2 ) dθ dr

9r2
r4

2
4

= 32π

3
1

Problema 4.
Calcular el volumen del sólido acotado por las superficies x2 + y 2 = 2x , z = x y z = 2x .
Solución:Integrando sobre el disco x2 + y 2 ≤ 2x y pasando a coordenadas polares.

V =

(2x − x) dx dy

x2 +y 2 ≤2x
π/2 2 cos θ

=
−π/2
π/2

=
−π/2

0

r3
3

r · r cos θ dr dθ

2 cos θ

·...
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