Calculo Integral

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL ORIENTE DEL ESTADO DE MÉXICO

Cuadernillo de apuntes Cálculo Integral

M. en C. Luis Ignacio Sandoval Paéz

La Paz, estado de México. Diciembre 2011.
1

Índice
Página
Introducción Unidad I Teorema fundamental del cálculo 1.1 Medición aproximada de figuras amorfas. 1.2 Notación sumatoria. 1.3 Sumas de Riemann. 1.4 Definición de integral definida.1.5 Teorema de existencia. 1.6 Propiedades de la integral definida. 1.7 Función primitiva. 1.8 Teorema fundamental del cálculo. 1.9 Cálculo de integrales definidas. 1.10 Integrales Impropias. Unidad II Integral indefinida y métodos de integración 2.1 Definición de integral indefinida. 2.2 Propiedades de integrales indefinidas. 2.3 Cálculo de integrales indefinidas. 2.3.1 Directas. 2.3.2 Con cambiode variable. 2.3.3 Trigonométricas. 2.3.4 Por partes. 2.3.5 Por sustitución trigonométrica. 2.3.6 Por fracciones parciales. Unidad III Aplicaciones de la integral 3.1 Áreas. 3.1.1 Área bajo la gráfica de una función. 3.1.2 Área entre las gráficas de funciones. 3.2 Longitud de curvas. 3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución. 3.4 Cálculo de centroides. 3.5 Otras aplicaciones.Unidad IV Series 4.1 Definición de seria. 4.1.1 Finita. 4.1.2 Infinita. 4.2 Serie numérica y convergencia 4.3 Serie de potencias. 4.4 Radio de convergencia. 4.5 Serie de Taylor. 4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor. Referencias 3 4 4 5 8 9 10 10 13 14 15 16 18 18 19 19 19 23 25 31 34 41 44 44 44 47 50 54 56 58 60 60 60 60 61 61 61 62 63

64

2

Cálculo IntegralIntroducción Buscando la comprensión del significado de la integral se propone un tratamiento que comience por lo concreto y pase luego a lo abstracto, así se sugiere que la integral definida se estudie antes de la indefinida puesto que aquélla puede ser abordada a partir del acto concreto de medir áreas. Se incluye la notación sumatoria para que el alumno la conozca y la maneje en la representación desumas de Riemann. La función primitiva se define junto con el Teorema Fundamental por estar íntimamente ligados. Las integrales impropias se ubican en esta unidad por ser un caso de integral definida, para aprovechar el contexto. Una vez que se abordó la construcción conceptual de la integral definida, se estudian la integral indefinida y los métodos de integración, para tener más herramientas enla construcción de la antiderivada, necesaria para aplicar el Teorema Fundamental. Las aplicaciones incluidas en el temario son las básicas, adecuadas a las competencias previas de los estudiantes, con el objetivo que sean ellos quienes planteen por sí mismos la integral a aplicar y resolver. Se complementa el tratamiento de aplicaciones con la identificación, por parte del alumno, de la integralen diferentes temas de ingeniería. Se incluye la serie de Taylor puesto que el cálculo de algunas integrales se facilita o posibilita representando la función a integrar como una serie de potencias.

3

Unidad I Teorema fundamental del cálculo 1.1 Medición aproximada de figuras amorfas. 1.2 Notación sumatoria. 1.3 Sumas de Riemann. 1.4 Definición de integral definida. 1.5 Teorema deexistencia. 1.6 Propiedades de la integral definida. 1.7 Función primitiva. 1.8 Teorema fundamental del cálculo. 1.9 Cálculo de integrales definidas. 1.10 Integrales Impropias. Objetivos: Contextualizar el concepto de integral definida. Visualizar la relación entre cálculo diferencial y el cálculo integral. Calcular integrales definidas.

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en laafirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por...