Calculo Integral

CALCULO INTEGRAL.
-El cálculo integral,es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e IsaacBarrow. NOTACION
Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a la región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinida.En general, el integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio deintegración puede ser un área, un volumen, una región de dimensión superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual.El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b], se escribe El signo ∫, una "S" alargada, representa la integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de laintegración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo, puede verse simplemente como una indicación de que x es la variable de integración, como una representación de los pasos en la suma de Riemann, una medida, un infinitesimal ocomo una cantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicados pueden variar la notación ligeramente.
PROPIEDADES.
Linealidad
• El conjunto de las funciones Riemann integrables en un intervalo cerrado [a, b] forman un espacio vectorial con las operaciones de suma y la multiplicación por un escalar. La operación integración es un funcional lineal de este espaciovectorial. Así, en primer lugar, el conjunto de funciones integrables es cerrado con la combinación lineal, y en segundo lugar, la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales,

• De forma parecida, el conjunto de las funciones reales Lebesgue integrables en un espacio métrico E dado, con la medida μ es cerrado respecto de las combinaciones lineales y por lo tantoforman un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue es un funcional lineal de este espacio vectorial, de forma que De forma más general, si se toma el espacio vectorial de todas las funciones medibles sobre un espacio métrico (E,μ), que toman valores en un espacio vectorial topológico completo localmente compacto V sobre un campo topológico localmente compacto K, f : E → V. Entonces se puededefinir una aplicación integración abstracta que a cada función f le asigna un elemento de V o el símbolo ∞,

que es compatible con las combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad se sostiene para el subespacio de las funciones, cuya integral es un elemento de V .Los casos más importantes surgen cuando K es R, C, o una extensión finita del campo Qp de números p-ádicos, y V es unespacio vectorial de dimensión finita sobre K, y cuando K=C y V es un espacio de Hilbert complejo.
La linealidad, junto con algunas propiedad naturales de continuidad y la normalización para ciertas clases de funciones "simples", se pueden usar para dar una definición alternativa de integral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones reales en un conjunto X, generalizado por Bourbaki afunciones que toman valores en un espacio vectorial topológicamente compacto. Véase Hildebrandt (1953)11 para una caracterización axiomática de la integral.
Desigualdades con integrales
Se verifican varias desigualdades generales para funciones Riemann integrables definidas en un intervalo cerrado y acotado [a, b] y se pueden generalizar a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).Cotas...