calculo integral

(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje)

CÁLCULO INTEGRAL
LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA
Sumatoria
Para representar en forma abreviada determinado tipo de
.
sumas, se utiliza como símbolo a la letra griega sigma

∑

Ejemplos.
30

+ 30 = ∑ i

1+ 2 + 3 + 4 +

i =1

2

2

2

30

+ 30 = ∑ i 2

2

2

1 +2 +3 +4 +

i =1

A " i " se leconoce como índice de la sumatoria. A esta suma
también se le identifica como
n

∑ f ( i ) = f (1) + f ( 2 ) + f ( 3 ) +

f ( n)

i =1

Propiedades de la sumatoria

i)
ii)

iii)

n

n

i =1
n

i =1

∑α f ( i ) = α ∑ f ( i )
n

n

i =1
n

i =1

∑ ⎡f ( i ) ± g ( i )⎤ = ∑ f ( i ) ± ∑ g ( i )
⎣
⎦
i =1
n

j

∑ f (i) = ∑ f (i) + ∑ f (i)
i =1

i =1

: 1< j
i = j +1

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2

Es conveniente presentar las siguientes propiedades de la
sumatoria:
n

∑ 1 = 1 + 1+ 1+

+ 1= n

i =1
n

∑ i = 1+ 2 + 3 +

+n=

n ( n + 1)
2

i =1
n

∑i

2

2

2

2

=1 + 2 + 3 +

2

+n =

n ( n + 1)( 2n + 1)
6

i =1

Área bajo la curva

y
y = f ( x)

A

a

b

x

Se fijarán dos condiciones:
i)Que f x sea continua en el intervalo

ii)

⎡ a, b⎤
( )
⎣
⎦
Que f ( x ) sea positiva en el intervalo ⎡ a, b ⎤
⎣
⎦

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

3

Suma inferior
Se hace una partición del intervalo considerado en
subintervalos iguales cuyos extremos se denotan como:

tales que

a = x0

,

x1

,

x2

, … ,

a = x0 < x1 < x2 <

" n"

xn = b

< xn = b

La longitud decada subintervalo está dada por:

Δ x = x1 − x 0 = x 2 − x1 =

de donde

Δx =

= x i − x i −1 =

= x n − x n−1

b −a
n

y como la función es continua en todo el intervalo, entonces es
continua en los subintervalos, por lo que de acuerdo con el
Teorema de Weierstrass, hay un valor del subintervalo para el
cual la función toma su mínimo valor. Estos valores son
c1, c2 , c3 ,… ,cn . Luego f ci es el menor valor de la función

( )

en cada subintervalo

⎡ xi −1, xi ⎤ . Considérese la siguiente figura:
⎣
⎦

y
y = f ( x)

c1 c2
a = x0 x1 x2

ci
xi −1 xi

cn

x

xn−1 xn = b
PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Se construyen

4

" n " rectángulos cuyas áreas son:
f ( c1 )( x1 − x0 ) = f ( c1 ) Δx
f ( c2 )( x2 − x1 ) = f ( c2 ) Δx
f ( ci )( xi − xi −1 ) = f( ci ) Δx
f ( cn )( xn − xn−1 ) = f ( cn ) Δx

de donde

SI = f ( c1 ) Δx + f ( c2 ) Δx +

+ f ( ci ) Δx +

+ f ( cn ) Δx

SI ≤ A
Ejemplo. Calcular con la suma inferior el valor aproximado del
área bajo la curva de la función

x + 10
3
de x = 2 a x = 8 , para: i) n = 3 y ii) n = 6
f ( x) =

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

5

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

6

Definición.

El áreabajo la curva

y = f ( x ) y limitada por las

rectas x = a y x = b es el límite, cuando el número de
subintervalos de la partición tiende a infinito, de la suma
inferior. Esto es,

lim SI = A
n→∞

Suma superior
Se considera la misma área y la partición que para la suma
inferior y por el Teorema de Wierstrass se garantiza que hay una
" x " en cada subintervalo donde la función toma sumáximo
valor. Estos valores son d1, d2, … , dn . Luego, f di es el a

( )

mayor valor en cada subintervalo

⎡ xi −1, xi ⎤ .
⎣
⎦

y
y = f ( x)

d1 d2
a = x0 x1 x2

di
xi −1 xi

dn
xn−1 xn = b

x

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Se construyen

7

" n " rectángulos cuyas áreas son:
f ( d1 )( x1 − x0 ) = f ( d1 ) Δx
f ( d2 )( x2 − x1 ) = f ( d2 ) Δx
f ( di )( xi − xi −1 ) = f( di ) Δx
f ( dn )( xn − xn−1 ) = f ( dn ) Δx

Aquí también se observa que la suma de estas áreas es una
aproximación del área bajo la curva y mientras mayor sea la
partición, más cerca estará del valor exacto del área. Entonces
esta suma superior está dada por:

Ss = f ( d1 ) Δx + f ( d2 ) Δx +

+ f ( di ) Δx +

+ f ( dn ) Δx

Ss ≥ A
Ejemplo. Calcular con la suma superior el...

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