Calculo integral

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Información que obtenemos de la derivada primera de una función
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Gráfica

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Ejemplos

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Tema 12. Regla de los 4 Pasos y un Tropezón.
ACTUALIZACIÓN AQUÍ…
Nunca acabaré de entender por qué muchos escritores de temas técnicos (en particular de matemáticas) complican tanto algunas cosas. La Regla de los 4 pasos es un método que parte de un razonamiento simple, para quéenredarlo con tantos “rollos” matemáticos. Aquí te daré una interpretación –es mi forma de entender la dichosa regla- y espero no “caer” en lo mismo que cuestiono.
¿Recuerdas como se determina la pendiente de una recta…? por si no lo recuerdas te pondré la “fórmula”: m = (y2-y1)/(x2-x1), pero… ¿de donde salió esta expresión? Te lo explico en la figura…
Tienes dos puntos (P1 y P2) y susrespectivas coordenadas (x1, y1); (x2, y2).
Con P1, P2, ∆x y ∆y se forma un triángulo rectángulo.
¿Y de donde diablos salieron los catetos: ∆y y ∆x? Respuesta. Del cerebro de Newton y Leibniz tratando de “apantallar” a los Pitagóricos de esa época. Pero igual puedes poner en un cateto a Caperucita Roja huyendo del lobo feroz hacia P1 y en el otro a la Cenicienta contando los segundos antes de romperseel hechizo y también funciona.
∆x es igual a x2-x1, mientras que ∆y es igual a y2-y1. En otras palabras, siempre debe ser coordenada final menos coordenada inicial, esto, según don René Descartes.
También sabes que: tg α = (y2-y1)/(x2-x1); e igual conoces que: tg α = m; por lo tanto: m = (y2-y1)/(x2-x1) Pero ya sabemos que y2-y1 es igual a ∆y; y que x2-x1 es igual a ∆x, por lo tanto: m = ∆y/∆xBien… ya tenemos algo “nuevo”, resulta que también la pendiente es igual a ∆y/∆x (∆ se lee delta o incremento).
Ahora relacionemos esta nueva expresión con la ecuación de una recta.
Sea la ecuación: y=2x+4 ¿Cuál es la pendiente de la recta que representa?
¡¡¡OBVIOOOO!!! La pendiente es 2 (puesto que la ecuación tiene la forma y=mx+b). Entonces, si m=2 por lo tanto: ∆y/∆x=2 ¿De acuerdo?“Juguemos” un poco con Álgebra, manipulando la ecuación y=2x+4. Hagamos lo siguiente: apliquemos un incremento a la variable x y un incremento a la variable y de la siguiente manera.
El incremento que daremos a x será: ∆x, el incremento que daremos a y será: ∆y
Entonces…y + ∆y = 2 (x + ∆x ) + 4
Reacomodando términos y simplificando… ∆y = 2x + 2∆x + 4 – y
Pero: y = 2x+4, por lo que sustituyendo queda…∆y = 2x + 2∆x + 4 – 2x – 4
Eliminando términos queda… ∆y = 2∆x
“Pasando” ∆x del otro lado, queda…
∆y/∆x = 2
¡Ohhh!, ¡la catorceava maravilla! comprobamos que existe otra manera ¡más larga!, ¡tediosa! y ¡aburrida! de llegar al mismo 2 que habíamos determinado visualmente en la ecuación: y=2x+4.
Pero ¿Qué caso tiene hacer esto si con solo ver la ecuación y = 2x+4 se sabe que la pendiente de larecta es 2.
Bueno… sucede que en la ecuación de una curva –como debes recordarlo- la pendiente no se puede conocer directamente y este procedimiento que acabamos de aplicar ¡bendito Dios! nos ayuda a obtenerla.
Apliquemos el mismo procedimiento de incrementar a X e Y pero en una curva… por ejemplo: y = x2
Demos un incremento a x, y luego a y, quedando…
y + ∆y = (x + ∆x)2
Desarrollando elbinomio, reacomodando y simplificando queda…
∆y = x2 + 2x∆x + (∆x) 2 – y
∆y = x2 + 2x∆x + (∆x) 2 – x2
∆y = 2x∆x + (∆x) 2
Factoricemos…
∆y = ∆x (2x + ∆x)
Simplifiquemos…
∆y/∆x = ∆x (2x + ∆x)/∆x
∆y/∆x = 2x + ∆x
La expresión anterior es la pendiente de una Secante a la curva y = x2 ¿cuál Secante? la que se te pegue la gana, con la condición de que uno de sus dos puntos (los que tocan a la curva)sea el mismo que el de la Tangente.
Ahora bien, hagamos un ”truco” para obtener la pendiente general de la Tangente. Simplemente hacemos que ∆x ”tienda” a cero.
En términos físicos lo anterior significaría recorrer un punto de la Secante hasta que hiciera “contacto” con el de la Tangente, es así como la Secante se convertiría en Tangente por obra y gracia de Newton y Leibniz. Por esta idea...
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