Calculo Integral
Taller de Matemática
Cálculo integral
Salina Cruz, Oax.
DERIVADA Y ANTIDERIVADA
En el cálculo diferencial el trabajo era, dada la función continua en un intervalo abierto I, encontrar una función derivada tal que:
Ahora, el trabajo es: dada hallar una función primitiva La operación se conoce como antiderivada.El signo que se utiliza para indicar la antiderivada es una S alargada. La expresión empieza con el símbolo a continuación se escribe la función derivada cuyo nombre es integrando, dx es diferencial de la variable independiente, en este caso x, aunque puede ser cualquier variable que indique con respecto a quién se integra.
La expresión es la de una función derivada; paraaplicarle la antiderivada deberá estar en su forma diferencial; eso se hace, multiplicando a los dos miembros por la diferencial de x, . de donde y .
A manera de ejemplo, si , entonces, de donde y recibe el nombre de primitiva.
Por otra parte, al derivar algunas funciones se obtiene la misma función derivada
Si se aplica la antiderivada a se obtendrá¿Qué se tendría que hacer para obtener 3x-1, 3x+2 o a cualquiera de las otras?
De inmediato no es posible saber a cuál de ellas corresponde, cada una difiere de las otras en una constante que se pierde al derivarla. Por esta razón, al realizar la antiderivada se debe prever esta situación sumando al resultado una c, llamada constante de integración y representa a cualquier constante que se hayaperdido al derivar.
Regresando a la expresión , si se aplica la antiderivada a los dos miembros , se tiene que y
Ejemplo:
, entonces,
Graficando este resultado se observa que se obtiene no una, sino un conjunto de curvas que constituyen una familia. Cada una es una curva integral y representa a una primitiva, como se muestra en la siguiente gráfica.
, es la integralindefinida, es el conjunto de todas las primitivas.
En el siguiente esquema se muestra la relación entre la derivada y la integral.
Propiedades de la Integral Indefinida
La integral indefinida goza de la propiedad de la linealidad, lo que se expresa de la siguiente manera:
1.
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3.
Integración Inmediata
Existe un conjunto de modelos que permiten hallar laantiderivada, son de aplicación inmediata o después de alguna modificación de la expresión a integrar. Se dan algunos de estos modelos a continuación.
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Cálculo de Integrales Inmediata
En los ejemplos que se darán a continuación, se trata de mostrar laaplicación de los modelos de integración dados en la sección anterior.
En el proceso de solución de un ejercicio, en la mayoría de los casos se emplean más de uno de estos modelos en los diferentes pasos hasta llegar al resultado.
Ejemplos:
1.
Aplicando , por comparación , entonces , reduciendo exponente y denominador se tiene Y se acabó
2.
Como en el ejemplo anterior , parareducir tanto al exponente como al denominador, se deberá en cada caso sumar una fracción con un entero, es muy fácil si el entero se convierte en una fracción que tenga el mismo denominador que la fracción
, entonces, Ya estuvo
3.
La diferencia de este ejemplo a los anteriores es que se tiene un coeficiente 2, antes de proceder como en los casos anteriores deberá aplicarse ,donde k = 2
, en seguida se aplica ; Hasta ahí
4.
Con el fin de evidenciar mejor la aplicación de cada modelo de integración, este ejercicio se desarrollará paso a paso.
Paso 1°: se aplica , es decir se integra término por término
Paso 2°: se emplea en cada una de las integrales
Paso 3°: en los términos del 1° al 3° se utiliza , y en el último .
Si a...
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