Calculo integral

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INDICE
CAPITULO I………………………………………………. 1
1.1.- ANTIDERIVADAS…………………………………………….. 1 EJERCICIO 1.1………………………………………………… 2 1.2.- INTEGRAL DEFINIDA Y CAMBIO DE VARIABLE……….. 3 EJERCICIO 1.2………………………………………………… 5 1.3.- EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO………… 5 EJERCICIO 1.3……………………………………………… 10

CAPITULO II………………………………………... …… 10
2.1.- FUNCIONES LOGARITMO NATURAL YEXPONENCIAL NATURAL………………………………………………………………..10 EJERCICIO 2.1……………………………………………… 12 2.2.FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS GENERALES……………………………………………………………. 13 EJERCICIO 2.2………………………………………………… 14 2.3.- INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 14 EJERCICIO 2.3………………………………………………… 17 2.4.-INTEGRALES QUE RESULTAN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS……………………………………………………………… 17 EJERCICIO2.4………………………………………………… 19

CAPITULO III…………………………………………….. 20
3.1.- AREAS…………………………………………………………………20 EJERCICIO 3.1………………………………………………… 25 3.2.- VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION…………….. 26 EJERCICIO 3.2………………………………………………… 32 3.3.- TRABAJO………………………………………………………... 33 EJERCICIO 3.3……………………………………………….. 37

CAPITULO IV……………………………………….......... 38
4.1.- INTEGRACIÓN POR PARTES………………………………….. 38 EJERCICIO 4.1…………………………………………………. 414.2.-INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS………………………………………………………... 41

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EJERCICIO 4.2……………………………………………….. 46 4.3.- SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA………………………… 47 EJERCICIO 4.3……………………………………………….. 50 4.4. FRACCIONES PARCIALES……………………………………. 50 EJERCICIO 4.4……………………………………………….. 52 4.5. EXPRESIONES CUADRÁTICAS………………………………. 53 EJERCICIO4.5……………………………………………….. 56 4.6. SUSTITUCIONES DIVERSAS………………………………….. 56 EJERCICIO 4.6……………………………………………….. 60

CAPITULO V……………………………………………… 60
5.1. INTEGRALES MULTIPLES……………………………………. 60 EJERCICIO 5.1……………………………………………….. 66

SOLUCIONES IMPARES DE LOS EJERCICIOS…….. 67

ii

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CAPÍTULO I
1.1- ANTIDERIVADAS
F(x) es una antiderivada de f(x) si F’(x) = f(x). La regla paracalcular antiderivadas se deducen de las correspondientes para las derivadas, por ejemplo: La antiderivada de Kf(x) donde K es una constante, es KF(x). La antiderivada de f(x) + g(x) es: F(x) + G(x), donde F’(x) = f(x) y G’(x) = g(x).

x n +1 . n +1 Si F(x) es una antiderivada de f(x),entonces a F(x) +C se le llama la antiderivada más general de f(x), siendo C cualquier constante.
Laantiderivada de f(x) = xn donde n es diferente de –1, es F(x) =

PROBLEMAS RESUELTOS
Hallar la antiderivada más general para las funciones dadas: 1.- f(x) = 3x 4 , F(x) = 3 x 4+1 +C 4 +1
x +1 +C 5 +1 4
5 4

,

F(x) =

3 5 x +C 5
4 4 x +C 9
9

2.- f(x) = 4 x 5 = x

5 4

,

F(x) =

,

F(x) =

3.- f(x) =

4 = 4x−3 x3

,

F(x) =

4 x −3+1 +C , − 3 +1

F(x) = − 2 x −2 + C
x0+1 +C 0 +1

4.- f(x) = 8

,

f(x) = 8 x 0

, F(x) = 8

, F(x) = 8x + C

5.- f(x) = 3x2-x+2 ,

F(x) = 3

x3 x2 x2 − + 2 x + C , F(x) = x 3 − + 2x + C 3 2 2

1 6.- f(x) = 2 + 2 x − 1 , x

f(x) = x − 2

x −1 x2 +2 − x+C + 2 x − 1 , F(x) = 3 −1 2
1 2

3

F(x) =

−1 4 2 + x − x+C x 3
3

1

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7.- f(x) = 4 x 3 −

3 + x

3

x2 ,
15

f(x) = 4 x 3 − 3 x

−1

2

+x

2

3

x4 x 2 x 3 F(x) = 4 −3 + +C 1 5 4 2 3

F(x) = x 4 − 6 x

1

2

+

3 53 x +c 5

8.- f(t) = t

−1

2

+ 2t

4

5

− t −4 + 1
1 9

t 2 t 5 t −3 +2 − +t +C F(t) = 1 9 5 −3 2

F ( x) = 2t

1

2

+

10 9 5 t −3 t + +t +C 9 3

9.- f(t) =

t 3 − 2t + 1 , t
7 3

f(t) = t
1

5

2

− 2t

1

2

+t−1

2

t 2 t 2 t 2 −2 + +C F(t) = 7 3 1 2 2 2

F(t) =

1 2 7 2 4 32 t − t + 2t 2 + C 7 3

⎛1 ⎞ 10.- f(z) = ⎜ + 2 z ⎟ , z ⎝ ⎠

2

f(z) =

1 + 4 + 4z 2 , z2

f(z) = z − 2 + 4 + 4 z 2 4z 3 −1 + 4z + +C z 3

F(z) =

z −1 z3 + 4z + 4 + C 3 −1

F(z) =

11.- f(x) =

x 2 + 5x + 6 , x+3

f(x) =

(x + 3)(x + 2) ,
x+3

f(x) = x + 2 , F(x) =...