Calculo modelando con funciones

CAPÍTULO

2
Funciones

1

2.8 Modelando con funciones
Ahora haremos uso de ejemplos concretos para mostrar la manera en que podemos utilizar a las funciones para modelar matemáticamente situaciones y problemas reales. Para llevar a cabo la actividad de modelar con funciones es necesario que se consideren las preguntas siguientes: ¿qué es lo que se pide en el problema?, así como ¿qué datosse dan en el problema? Ejemplo 2.8.1 Una región rectangular tiene un perímetro de 200 m. Expresar el área de la región como función de la longitud de uno de sus lados. H Consideramos un rectángulo con lados de longitudes x & h, expresados en metros.
x

h

Región

Tenemos entonces
1

¿Qué es lo que se pide en este problema? Expresar el área A del rectángulo, que es A D xh, como función(solamente) de x o bien de h. ¿Qué dato se da en el problema? Que el perímetro, que es P D 2x C 2h, es de 200 m. Esto es, se sabe que 2x C 2h D 200 o bien que x C h D 100.
canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2  una función: A D xh 

Cálculo Diferencial e Integral I (por abuso del lenguaje en ocasiones llamamos función a una regla de correspondencia o una fórmula);

Ahora de la ecuacióndespejamos una de las variables (la que más nos convenga) para luego sustituirla en la función. En este caso es indistinto despejar cualquiera de las dos variables. Si queremos expresar el área A como función de x, despejamos h de la ecuación. x C h D 100 ) h D 100 sustituimos el valor de h en la función y obtenemos A D xh D x.100 Luego la función buscada es x/ D 100x x2 I h.) x;

  unaecuación: x C h D 100:

(si la quisiéramos como una función de h despejaríamos x D 100 A.x/ D 100x x2 :

Ejemplo 2.8.2 Una región rectangular tiene un área de 160 m2 . Expresar su perímetro como función de la longitud de uno de sus lados. H Consideramos un rectángulo con lados de longitudes x & h, expresados en metros.
x

h

Región

¿Qué es lo que se pide en el problema? Expresar el perímetro Pdel rectángulo, que es P D 2x C 2h, como función (solamente) de x o bien de h. ¿Qué dato se da en el problema? Que el área del rectángulo, que es A D xh, es igual a 160 m2 . Esto es, se sabe que: xh D 160. Tenemos entonces una función: P D 2x C 2hI una ecuación: xh D 160: Si queremos expresar el perímetro P como función de h, despejamos x de la ecuación para después sustituirla en P . 160 xh D160 ) x D I h 2

2.8 Modelando con funciones sustituyendo x en P obtenemos P D 2x C 2h D 2 Luego la función buscada es P .h/ D 320 C 2h: h 160 h C 2h D 320 C 2h: h

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Ejemplo 2.8.3 Una caja de caras laterales rectangulares sin tapa tiene su base cuadrada y un volumen de 2 m3 . Expresar el área de la caja como función de uno de los lados de la base. H Consideramos una caja de caras lateralesrectangulares de altura h y base cuadrada de lado x con h & x expresados en metros.

h

h

x x

¿Qué es lo que se pide en este problema? Expresar el área A de la caja como función de x (uno de los lados de la base) a sabiendas de que A D área de la base C área de las caras laterales D x 2 C 4xh: ¿Qué dato se da en el problema? Que el volumen de la caja, V D x 2 h, es igual a 2 m3 ; esdecir, se sabe que x 2 h D 2. Tenemos entonces una función: A D x 2 C 4xhI una ecuación: x 2 h D 2:

Ahora, dado que se quiere expresar A como función de x, despejamos h de la ecuación, para luego sustituirla en la función. 2 x2 h D 2 ) h D 2 : x Sustituyendo h en la función obtenemos A D x 2 C 4xh D x 2 C 4x 2 x2 D x2 C 8 : x 3

4 Luego la función buscada es A.x/ D x 2 C 8 : x

CálculoDiferencial e Integral I

Ejemplo 2.8.4 Una caja de caras laterales rectangulares con base y tapa cuadradas tiene un área total de 1 200 cm2 . Expresar el volumen de la caja como función de uno de los lados de la base. H Consideramos una caja de caras rectangulares de altura h y base cuadrada de lado l, con h y l expresados en centímetros.

h

h

l l

¿Qué es lo que se pide en este problema?...