Calculo numerico

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Cálculo Numérico




METODO DEL PUNTO FIJO.

Los métodos abiertos emplean una fórmula para predecir la raíz. Esta fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo), al reordenar la ecuación f(x) = 0 de tal modo que x esté del lado izquierdo de la ecuación:

[pic]Esta transformación se realiza mediante operaciones algebraicas o simplemente sumando x a cada lado de la ecuación original. Por ejemplo,

[pic]

se reordena para obtener




[pic]




mientras que sen x = 0 puede transformarse sumando x a ambos lados para obtener




[pic]

La utilidad de la ecuación [pic] es que proporciona una fórmulapara predecir un nuevo valor de x en función del valor anterior de x. De esta manera, dado un valor inicial para la raíz xi la ecuación se utiliza para obtener una nueva aproximación xi+1 expresada por la fórmula iterativa




[pic] (Algoritmo)




Error aproximado de la ecuación

[pic]

Error verdadero de la ecuación (error relativo porcentual verdadero)[pic]




EJEMPLO

Use una iteración simple de punto fijo para localizar la raíz de:

[pic]




Solución.

La función se puede separar directamente y expresarse de la siguiente forma:

[pic]

Empezando con un valor inicial x0 = 0, se aplica esta ecuación iterativa para calcular

Así:

[pic]

[pic][pic]




y así sucesivamente.




El error porcentual será

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

y así sucesivamente




Por último el [pic]en cada caso será

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

y así sucesivamente.

[pic]




De esta manera, se puede observar que cada iteración seacerca cada vez más el valor aproximado al valor verdadero de la raíz: 0.56714329.







CONVERGENCIA

El error relativo porcentual verdadero en cada iteración del ejemplo es proporcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de la iteración anterior. Esta propiedad conocida como convergencia lineal, es característica de la iteración simple de punto fijo. Por ejemplo:[pic]




También debemos enfatizar la “posibilidad” de convergencia (además de velocidad).





































MÉTODO DE BISECCIÓN.

El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición en 2 dos intervalos iguales o método de Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que elintervalo se divide siempre en dos.

Los métodos de búsqueda incremental aprovechan el Teorema de Bolzano. El mismo sostiene que si una función es continua en un intervalo [a,b] para el cual [pic], es decir, que la función toma signos opuestos en a y b, entonces debe existir un valor del intervalo para el cual [pic].

[pic]

Este teorema nos garantiza la existencia de al menosun cero en dicho intervalo, o de un número impar de raíces. La localización del cambio de signo (y por ende de la raíz), se logra con más exactitud al dividir el intervalo en una cantidad definida de subintervalos.

Para el método de bisección, si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determinasituándola en el punto medio del subintervalos dentro del cuál ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.




Los pasos a seguir para calcular la bisección que forman el algoritmo del método son:

1. Elija los valores iniciales inferior Xl y superior Xu de forma tal que la función cambie de signo sobre el intervalo. O sea[pic]es el criterio de...
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