Calculo para una bobina de helmost

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1 Tecnicas experimentales I

Práctica 4 de Electromagnetismo

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TOPOGRAFÍA DEL CAMPO MAGNETOSTÁTICO

Objetivos Teoria Medida del campo magnetostático en el eje de una bobina o en el de un par de bobinas de Helmholtz. Topografía del campo magnetostático generado por dos bobinas. Medida del campo magnetostático en el eje de un solenoide y determinación de la permeabilidad magnética en elvacío. Medida de la componente tangencial del campo magnético terrestre.

APLICACIONES ELEMENTALES DE LA LEY DE BIOT-SAVART
Mediante la ley de Biot-Savart puede determinarse el campo magnético creado por una distribución de corrientes dada. En particular, resulta sencillo obtener el campo magnético en el eje de una configuración de corrientes que presenta simetría axial. Por ejemplo, en el ejede una espira circular de radio R0, por la que circula una intensidad de corriente I, la expresión del campo magnético resulta ser(*): z ˆ

R0

x ˆ
r B=
2 µ 0 I R0 2 2 ( x 2 + R0 ) 3 / 2

x (1) ˆ

I

Fig. 1

(*)

Adviértase que en el presente guión, en contra de la notación habitual, la coordenada axial es llamada coordenada x, mientras que la coordenada que en este caso llamamos zes la radial. De este modo, las expresiones teóricas quedan adaptadas a la notación por la que se rige el instrumental de medida que se va a emplear.

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Sin embargo, en general no puede encontrarse una expresión analítica para el campo magnético que crean estas configuraciones en puntos fuera del eje. BOBINAS DE HELMHOLTZ Éstaes una configuración frecuentemente empleada para conseguir un campo relativamente uniforme en una pequeña región del espacio. Consiste en dos bobinas iguales, coaxiales, y separadas por una distancia tal que la segunda derivada del campo magnético se anula en el punto del eje equidistante de ambas bobinas (figura 2).

z ˆ
d d

R0

x ˆ

I

I
Fig. 2 – Bobinas de Helmholtz

El campomagnético en el eje de las bobinas se calcula con facilidad por superposición de las contribuciones de cada bobina, las cuales se obtienen directamente adaptando (1) a la posición y dimensiones de cada una de ellas.

 2  r µ I N R0  1 1  B ( x) = 0 x + ˆ  3/ 2 3/ 2  2 2 2 2 2   ( x − d ) + R0 ( x + d ) + R0  

[

]

[

]

(2)

(N es el número de vueltas que tiene cadabobina).

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La simetría de esta configuración asegura que todas las derivadas impares de Bx(x) son nulas en x = 0, puesto que Bx(x) resulta simétrica respecto a x = 0. Además, puede comprobarse con facilidad que la segunda derivada, evaluada en x = 0, toma la siguiente expresión:
d 2 Bx d x2
2 = 3µ 0 NIR0 2 4d 2 − R 0 2 (d 2 + R0) 7 / 2

(3)

Que se anula si se verifica que 2d = R0. Por consiguiente, si se desarrolla Bx(x) en serie de Taylor en torno a x = 0, se obtiene que: Bx(x) = Bx(0) +
4 1 4 d Bx x + ... 24 d x 4 x =0

(4)

Si la cuarta derivada se evalúa en x = 0, se obtiene que Bx(x) puede escribirse como:  144  x  4     Bx(x) ≈ Bx(0) 1 −  125  R0       De manera que, cuando (5)

x
menor que 1.5 10-4. Es decir, resulta una buena aproximación considerar el campo magnético constante en la zona del eje entre x = - R0 / 10 y x = R0 / 10.
SOLENOIDE

A efectos de cálculo del campo magnetostático, un solenoide puede describirse como un conjunto de espiras circulares iguales, coaxiales y uniformemente apiladas. El campomagnetostático en su eje resulta tener únicamente componente axial, cuyo valor es:

z ˆ
L/2 L/2

Fig. 3

R0 x ˆ

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  L L   −x +x µ0 I N   2 2 + Bx(x) =  1/ 2 1/ 2  2 L  L   L 2 2 2 2  ( 2 − x) + R0   ( 2 + x) + R0      

(6)

Si el solenoide es suficientemente largo y el punto en el que se...
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