Calculo politecnica ejercicios ing. ezequiel a. guamán t.

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

CÁLCULO EN UNA VARIABLE LÍMITES
EJERCICIOS PROPUESTOS

Ing. Ezequiel A. Guamán T. Ing. Hugo Rodríguez Marzo, 2010

CAPÍTULO PRIMERO: LÍMITES En los ejercicios del 1 al 12, se da f(x), a, L, E. a) b) Utilice una figura para determinar > 0: si 0 < x-a < L → f(x)-L < E Confirme analíticamente, empleando propiedades de lasdesigualdades, al encontrado en la parte anterior.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

f(x) = x-1; a = 4; L = 3; E = 0.03 f(x) = 5x – 3; a = 1; L = 2; E = 0,05

f ( x)

4x 2 4x 3 ;a 2x 1

1 :L 2

4; E

0.03

f(x) = x2; a = 3; L = 9; E = 0.5 f(x) = x2 – 2x +1; a = 2; L = 1; E = 0.4 f(x) = 2x2 + 5x + 3: a = -3; L = 6; E = 0.6 f(x) = x + 2; a = 3; L = 5; E = 0.02 f(x) = 4x – 5; a = 2; L= 3; E = 0.001

f ( x)

3x 2

8x 3 ;a x 3

3 : L 10; E

0.05

f(x) = x2; a = 0,5: L = 0.25: E = 0.1 f(x) = x2 + 4x + 4; a = -1: L = 1; E = 0.08 f(x) = 3x2 – 7x + 2; a = 1; L = -2; E = 0.3

Utilizando la definición de Límite de Couchy, demostrar que: 13.

lim(2 3 x )
x 1

1

14.

x2 a2 lim x a x a
lim 2 x 3
x 3

2a

15. 16.

3 6

lim 4 5 x
x 2

17. 18. 19. 20.21. 22. 23. 24.

lim x 2
x 1

4
x 1

3
7

lim x 2
x 2

lim
x 3

1 x 2

1
2

lim x 3
x 7

x2 x 6 lim 2 x 2 x 5x 6 lim
x 2

0 7 3

x2

4x 5 x 1
2

lim
x 1

x 1 x 1

2
5 4
2 3
0

lim
x 2

x 2 3x 1 4 x2
x2 5 3 2 x
x 2 21 5 x 2

25.

lim
x 2

26.

lim
x 2

Calcular los siguientes límites:

27.

lim 3
x 0

1 x 1 x
3

1 x 1 x

428.

lim 3
x 1

x 1 x 1

5

29.

lim 3
x 1
3

x 1 x 1
x 1 x 1

30.

lim
x 1

5

31.

1 x lim x 0 1 x
lim
x a

3

3

1 x 1 x

32.

2x

2 x 2 2a 2 x a

33.

lim
x a

x 2x

a

2 x 2 2a 2
3

34.

x

lim 1 x

x

35.

x

lim ( x 2 2 2 x)
10

36.

lim
x 0

x 1 1 x
2 x 2 2a 2 x a
5x 6 4x 3 x7 2x3
x3 x
3

37.

lim
x a2x

38.

lim
x 0

x7

39. 40.

lim
x 1

x4
1 1
3 5

x2 x
2

3x 2 x 1

lim
x 1

x x

41. 42.

x5 1 lim 4 x 1 x 1
lim
x 1

3 1 x3
2 1 x
5

1 x 1
x2 x2 2
7

43.

lim
x 0

x
x 2 10 x 1

44.

2 x 2 10 x 1 lim x 0 x

m

45.

lim
x 0

1 ax x

n

1 bx

46.

lim
x 4

3 1
x2

5

x

5 x
2x 6 x2 2x 6 x2 4x 3

47

lim
x 348.

lim n n a 1 ; a
n

0

49.

lim
x

( x 1) 2 (3 7 x ) 2 (2 x 1) 4

50.

x

lim

x2

8x 3

x2

4x 3

51.

lim
x

(1 x11 7 x13 ) 3 (1 x 4 )10
3

1 1

52.

lim
x

4 x
5

4

1 5 x

3 x

1

53.

lim
x

x x x x

54. 55. 56.

lim x 2
x

5x 6

x

lim x
x

x2 1
3

x

lim x
x

1 x2

57.

Sea la función real f, definidapor: -x2+1, x < 2 f(x) = 1,x = 2 x-2 , x > 2

a) b) 58.

Calcular los límites laterales cuando x → 2 Existe el lim f ( x ) ?
x 2

Sea la función real f, definida por: 1-x, 1 x < 3 f(x)= x2, x=3 -x2+2x+1, x > 3 Calcular los límites laterales cuando x → 3 Existe el lim f ( x ) ?
x 3

a) b)

59.

Si f(x) =

x2 1 x 1

Hallar: a) lim x b) lim x
1

f x f x
1

1

c) ¿ lim x

fx ?

60.

Si f ( x)

x2 x

a b

si x si x

1 1
lim x
1

Hallar la relación entre a y b tal que

f x

61.

Sea f ( x)

2 x a si x ax b si - 3 b 5 x si x

3 x 3 3

Hallar a y b tal que:
lim f x
-3

x

lim f ( x)
x 3

2x 2
62. Sea f ( x)

a si x x

0 2

ax 3 si 0 3b x x 1 si x

2

Hallar a y b tal que: lim x 0 f x lim x
3

2

f x

63.

lim
x1 3

x 3 6 2 x 9 3 1

2 . x arc. tan
64.

lim
x 0

1 senx 1 cos x

65.

ln(1 e x ) lim x x
x cos x

66.

lim
x 2

sen x
67.

lim
x 3

3 1 2 cos x

68.

Dadas las funciones:

senx x
f(x) = x

2, x

0

,x>0

x-1(e-x-1) , x < 0 g(x) = 4x2(1-cos2x)-1 , x > 0

a) b)

Determinar los límites de f y g, si x tiende a cero Hallar: lim[ f ( x )
x 0

g ( x...
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