Calculo Unid 2

UNIDAD 2

Las funciones,
el límite y la
derivada.

f ’(x) =m t g =

En la imagen se observa la grafica de una función con siete rectas secantes que pasan por el punto A. Estas se parecen cada vez mas a la recta tangente a la curva en A .A la izquierda (arriba) de la figura aparéese el símbolo matemático de este proceso.

Propósito

Para iniciar este apartado, espero que te hayasacostumbrado a la dinámica de trabajo propuesta al inicio del curso, porque esta metodología es determinante para tu aprendizaje de cálculo.
Antes de que revises el contenido de esta unidad es muy importante que conozcas: que aprenderás, como lograras y para que aprenderás.

¿Qué aprenderás?

* Identificar los tipos de funciones y sus operaciones básicas.
* Aplicar el Método deFermat para dibujar rectas tangentes a la grafica de una función en puntos conocidos de la grafica.
* Conocer que es y como se resuelve un limite.
* Conocer que es la derivada y como se deriva una función.
* Aplicar un método para localizar el punto mas alto (y mas bajo) de la gráfica de una función.

¿Cómo lo lograrás?

* Resolviendo problemas geométricos yrealizando en equipos un trabajo sistemático y ordenado, como se mencionó en la Unidad 1.
* Analizando los resultados de los distintos problemas sobre el trazo de la recta tangente a la grafica de la función en un punto dado, que se te plantearán en esta unidad, descubrirás regularidades o reglas que funcionen en general para determinar el valor de la pendiente de la recta tangente en cualquierpunto de la grafica y para cualquier curva. Estas las aplicaras para dibujarle rectas tangentes y localizar su punto mas alto (y mas bajo). También utilizaras la computadora y la calculadora.

¿Para que aprenderás?

* Para relacionar con contextos numéricos y geométricos el significado de los concepto de límite y derivada

2.1

Introducción.

El análisis de los problemas deoptimización que hemos realizado hasta el momento nos lleva a la conclusión de que para resolverlos debemos utilizar un método para localizar el punto mas alto o mas bajo de la grafica, puntos en los que, si existe la recta tangente, esta debe ser horizontal.
El problema de encontrar rectas tangentes a curvas ha ocupado la atención de muchos matemáticos a lo largo de la historia .Al principio no hubo unenfoque único y se idearon numerosos métodos para construir tangentes a ciertas curvas especiales; por ejemplo, los geómetras de la antigua Grecia encontraron los métodos para construir rectas tangentes a las cónicas (circunferencias, parábola, elipse e hipérbola).
Estos métodos son particulares para cada cónica, ya que están apoyados en propiedades geométricas exclusivas de cada una y nofuncionan para otro tipo de curva. Considerados de manera aislada, estos procedimientos son muy interesantes, toda vez que sirven como ejercicios extraordinarios de razonamiento geométrico; pero en conjunto arrojan poca luz acerca de la esencia de las tangentes, porque cada procedimiento se aplica a un tipo particular de curvas.
Las invención de la geometría analítica por el francés Rene Descartes(1596-1650)a principios del siglo XVII impulsó notablemente la elaboración de un método mas general para construir tangentes a curvas. Descartes ideó un procedimiento conocido hoy en día con el nombre de Método de las Raíces Iguales , que en su tiempo representó un verdadero adelanto en la búsqueda de un proceso uniforme para encontrar rectas tangentes a curvas, aplicable a todas las curvas que puedenser representadas con una ecuación de segundo grado; sin embargo, este falla cuando se consideran curvas de tercer grado o mayor.

PIERRE DE FERMAT ENCONTRO LA SOLUCION

La solución de las tangentes tuvo que esperar unos años mas hasta que el francés Pierre de Fermat (1601-1655), considerado uno de los mas notables matemáticos del siglo XVII, desarrolló un proceso para determinar la...