Calculo variacional

Calculo Variacional

1. Introducción
Muchos problemas requieren determinar cuando una función [pic] alcanza un valor mínimo o máximo, conjuntamente con estos problemas, surge en Física con frecuencia, la necesidad de determinar los valores máximos y mínimos de ciertas magnitudes llamadas funcionales.
Varios principios de la física, entre ellos por ejemplo, el principio de Fermat de la ópticay el principio de la mínima acción de Hamilton, se reducen a afirmar que cierta funcional debe tomar un valor mínimo o máximo. En el caso del principio de Fermat el camino óptico debe ser un mínimo, en el caso del principio de la mecánica de Hamilton, es la integral de acción la que debe ser un mínimo. Este tipo de principios se denominan principios variacionales.
Se llaman funcionales a ciertasmagnitudes cuyo valor depende a su vez de una función. De la misma manera que una función real de una variable real, hace corresponder a cada numero otro numero (su imagen), una funcional hace corresponder, a cada función un numero.
Por ejemplo, la longitud del camino seguido entre dos puntos es una funcional, porque su valor depende del camino seguido entre los puntos origen y destino, el caminoseguido es una función y no un número.
En la figura de arriba vemos que la longitud seria:
[pic]
[pic]
Ahora un problema variacional consistiría por ejemplo, en hallar el camino [pic] que haga mínima la funcional longitud, [pic]. Es decir, de entre todas las trayectorias posibles entre el punto A y el B determinar cual es la que hace que la funcional [pic]tome su mínimo valor posible.
Comoes sabido el camino que hace mínimo la funcional es la recta dada por:

[pic] donde
[pic]
[pic]
A la curva(o función) que minimiza(o maximiza) una funcional dada se le denomina extremal. En nuestro trivial ejemplo, [pic]es una función extremal de la funcional [pic].
En óptica sabemos que de todas las trayectorias posibles entre dos puntos dados A y B, de entre todas ellas, aquella que enrealidad seguirá la luz, es la que minimice una magnitud llamada camino óptico. Así que si queremos hallar la trayectoria seguida por un rayo de luz, deberemos encontrar la curva extremal de la funcional, en este caso, la extremal del camino óptico.
En mecánica, de todas las trayectorias que puede seguir una partícula entre dos puntos del estado fásico, aquella que realmente seguirá la partícula esla que minimice la integral de acción.
El Calculo Variacional es la parte de las matemáticas que estudia los métodos que permiten hallar los valores máximos y mínimos de las funcionales.
Un problema de cálculo variacional sería pro ejemplo el siguiente:
Determinar sobre que curvas alcanza un extremo (máximo, mínimo o punto de inflexión) la funcional:
[pic]

Tales que [pic] y [pic]
Debemoshallar la curva extremal de la funcional:
[pic]
Con
[pic]
Aplicando la formula de Euler:
[pic]
Se tiene que:
[pic] de donde [pic]con las condiciones de frontera [pic]y [pic]
Se obtiene que la única solución posible es la curva [pic]
Pero antes de meterse en métodos haremos algunas definiciones lo más sencillas posibles (pese a que los matemáticos nos peguen por informales) y se intentarahacerlo siempre siguiendo una analogía entre funciones y funcionales.
2. Definiciones elementales:
2.1.Se dice que [pic]es una función de la variable [pic]y se denota por [pic], si a cada valor de la variable x, de cierta región de variación de la variable x, le corresponde un valor de la variable z. Es decir tiene lugar una correspondencia: al número x le corresponde el número z.2.2. Se dice que v es una funcional de la función [pic], si a cada función[pic], de entre una cierta clase de funciones, le corresponde un valor de v.Es decir, tiene lugar una correspondencia a la función [pic]le corresponde el numero v.
2.3. a [pic]se le llama incremento del argumento [pic]de la función [pic], y es la diferencia entre dos valores de esta variable [pic]
2.4. a...