Calculo vectorial

Coordenadas polares

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Coordenadas polares
El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas
bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina
por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de
coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y
θ es el ángulo positivo en sentidoantihorario medido desde el eje polar
(equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce
como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada
angular» o «ángulo polar».
En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el
valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de
representar el origen por (0,0º).

Localización de un puntoen coordenadas polares.

Historia
Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio se
conocen y manejan desde la antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII,
posterior a la invención de la geometría analítica, en que se puede
hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares.
Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias
se relacionan conaplicaciones a la navegación y el estudio de la
bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) creó una
tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del
ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para
establecer la posición de las estrellas.[1] En Sobre las espirales,
Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una función cuyo radio
dependedel ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de
un sistema de coordenadas como medio de localizar puntos en el plano,
situación análoga al estado de la geometría antes de la invención de la
geometría analítica.

Sistema de coordenadas polares con varios
ángulos medidos en grados.

En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de formaindependiente el
concepto a mediados del siglo XVII en la solución de problemas geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este tema
en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión corregida
en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área
dentro de una espiral de Arquímedes.Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la
longitud de arcos parabólicos.
Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Método
de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las
cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentesy curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de
coordenadas polares.[2] En el periódico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en
una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al

Coordenadas polares
polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base para encontrarel radio de curvatura de
ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas.
El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos
del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George
Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral de SylvestreFrançois Lacroix,[3] mientras que
Alexis Clairault fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.

Representación de puntos con coordenadas polares
En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el
plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se
miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al
centro...