Calculo vectorial

MOISES VILLENA

Geometría Analítica en R3

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2.1 2.2 2.3 2.4 RECTAS EN R PLANOS POSICIONES RELATIVAS SUPERFICIES
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2.4.1 SUPERFICIES CILINDRICAS 2.4.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN 2.4.3 CUADRICAS

2.5 COORDENADAS CILÍNDRICA. 2.6 COORDENADAS ESFÉRICAS.
Objetivos.

Se persigue que el estudiante: • Encuentre ecuaciones de Rectas y Planos. • Grafique Rectas y Planos. • Encuentredistancias. • Grafique Superficies Cilíndricas, de Revolución y Cuádricas.

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2.1 RECTAS EN R
2.1.1 DEFINICIÓN

Sea P0 un punto de R y sea S un vector de R . Una Recta l se define como el conjunto de puntos P de R que contiene a P0 y tal que los vectores V = P0 P son paralelos
→ → ⎯ ⎯→

3

→

3

3

a S. Es decir:
→ → → ⎯ ⎯→ ⎫ ⎧ l = ⎨ P(x, y, z ) / P0 ∈ l y S // V donde V = P0 P ⎬ ⎭ ⎩
→

Al Vector S se lo llama VECTOR DIRECTRIZ de la recta. 2.1.2 ECUACIÓN Sea P0 ( x0 , y0 , z 0 ) y sea el vector S = (a, b, c ) .
z
→

l

S = (a, b, c )

→

P ( x, y , z ) •

→

V
• P 0 (x0 , y 0 , z 0 )

y

x
→

El vector S es paralelo al vector entonces:

V = P0 P = ( x − x0 , y − y0 , z − z 0 ) ,

→

→

V =kSReemplazando resulta:

→

→

(x − x , y − y , z − z ) = k (a, b, c )
0 0 0

Por igualdad de vectores, se plantea lo siguiente:

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⎧( x − x0 ) = ka ⎪ ⎨( y − y0 ) = kb ⎪( z − z ) = kc 0 ⎩
Entonces tenemos:

x − x0 y − y 0 z − z 0 = = a b c

Ecuación de la recta definida por un punto P0 (x 0 , y 0 , z 0 ) y un vector paralelo S = (a,b, c )
→

En ocasiones anteriores ya se ha mencionado que dos puntos definen una recta, observe la figura:
z
l • P (x , y , z ) 2 2 2 2

→

P ( x, y , z ) •
→

V

S

• P 1 ( x1 , y1 , z1 )

y

x

Ahora tenemos que, P0 = P ( x1 , y1 , z1 ) y el vector directriz sería: 1

⎛ ⎞ ⎜ x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ⎟ , S = P1 P2 = 2 2 ⎜ 1 3 123 1 3 ⎟ ⎝ a ⎠ b c
→ →

Entonces, setiene:

x − x1 y − y1 z − z1 = = x2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1

Ecuación de la recta definida por dos puntos

También se la llama ECUACIÓN CANÓNICA O ECUACIÓN SIMÉTRICA.

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Si consideramos:

x − x0 y − y 0 z − z 0 =t = = a b c

Tenemos:

⎧ x = x0 + at ⎪ ⎨ y = y 0 + bt ⎪ z = z + ct 0 ⎩
De lo anterior:

Ecuaciones Parámetricas

(x, y, z) = (x + at , y + bt , z + ct ) (x, y, z ) = (x424 ) + t (a,2,3) , y ,z bc 1 3 1
0 0 0 0 0 0
⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→

V

0

S

Se puede expresar de la siguiente manera:

V = V0 + t S
Ejemplo

→

→

→

Ecuación Vectorial

Hallar las Ecuaciones paramétricas de la recta que contiene al punto P(1,−1 − 1) y es paralela al vector S = (1,0,2) . SOLUCIÓN: De a cuerdo a lo definido:
⎧ x = x 0 +at = 1 + t ⎪ ⎨ y = y 0 + bt = −1 ⎪ z = z + ct = 1 + 2t 0 ⎩
→

Ejercicios Propuestos. 2.1
1. Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 1, 3) Grafíquela y (1, 2, -1).

⎧x = 1 + t ⎪ Resp. l : ⎨ y = 2 − t ⎪ z = −1 − 4t ⎩
2. 3. 4. Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 1, 0) y Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir? ¿Cuál sería laecuación del eje z? Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 0, 2) y Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir? ¿Cuál sería la ecuación del eje y? Escriba ecuaciones paramétricas de rectas paralelas al eje x. (2,1, 5). (2,5, 2).

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5. 6. 7.

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Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 3, 5)Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir? Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (0, 2, 2) Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir? Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 0, 2) Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir? y y y (2,2, 0). (2,2, 0). (0,2, 2).

8.

Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene el punto (-1, -6, 2) y es...