Calculo

1.2 TÉCNICAS DE LA DERIVACIÓN.

1.2.1 DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Generalmente la derivación se lleva acabo aplicando fórmulas obtenidas mediante la regla general de la derivación y que calcularemos a continuación, de estas podemos derivar las funciones algebraicas, trascendentales, sucesivas y combinadas.

1) DERIVADA DE UNA CONSTANTE. Emplearemos el método de los cuatro pasos. Siy = f (x) = c siendo c una constante a) Evaluamos f en x+h, al incrementar x, la constante no cambia y, por lo tanto tampoco cambia y, entonces f (x+h) = c. b) Restamos f(x). f (x+h) – f(x) = c – c = 0 c) Dividimos por h. f ( x + h) − f ( x ) 0 = =0 h h d) Obtenemos el límite cuando h → 0 lim 0 = 0
h→ 0

Resumiendo. Si y = c entonces y’ = 0 La derivada de una constante es igual a ceroEjemplo. La derivada de y = 4, es y’ = 0 La derivada de y = 5/7, es y’ = 0 La derivada de y = 2, es y’ = 0 Si y = 8, entonces y’ = 0 Si y = –2/3, entonces y’ = 0

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2) DERIVADA DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE.(FUNCIÓN IDENTICA O IDENTIDAD)

Sea y = f(x) = x siguiendo la regla general o de los cuatro pasos: a) y + y2 – y1 = x + h b) y 2 − y1 = h c) y2 − y1 / h = h / h = 1 Entonces: d) lim
h →0La derivada de la variable independiente o con respecto a ella misma, es igual la unidad

y2 − y1 = lim1 = 1 h →0 h
La derivada de la variable independiente o con respecto a ella misma, es igual la unidad

Si y = x entonces y´ = 1

3) DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR LA VARIABLE INDEPENDIENTE.

Sea la función y = cx, por ejemplo y = 5x Entonces la derivada de y = 5x, es y’ = 5Si y = 5x /3, entonces y’ = 5/3 La derivada del producto de una constante por la variable independiente es igual a la constante

Si y = cx entonces y´ = c

Por regla general: a) y + y 2 − y 1 = c( x + h) b) y 2 − y 1 = cx + ch − cx = ch c)

y2 − y1 ch = =c h h
h →0

d) lim

y2 − y1 = lim c = c h →0 h

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4) LA DERIVADA DE SUMA DE FUNCIONES

Si y = u + v + w en donde y = f(x) , u= f(x) , v = f(x), w = f(x) Entonces y’ = u’ + v’ + w’ , Siempre que u, v, w sean diferenciables Ejemplo. Si y = (3 x + 5 x) , entonces y '
2

(3 x 2 + 5 x) = y ' (3x 2 ) + y ' (5 x) = 6 x + 5

y’ = u’ + v’ + w’

La derivada de la suma algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Empleando la formageneral comprueba la fórmula para la derivada de la suma de las funciones,

5) DERIVADA DE PRODUCTOS Y COCIENTES. En esta sección, enfocaremos los dos más importantes teoremas que representan técnicas útiles cuando se requiere derivar funciones complicadas.
TEOREMA 1 REGLA DEL PRODUCTO

Si u(x) y v(x) son dos funciones de x diferenciables, entonces la derivada de su producto es: (uv )’ = uv’ + u’ v La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera. 32

Ejemplo. Calcula y’ si y = (5 x − 3 x)(2 x + 8 x + 7) Solución. La función dada puede escribirse como un producto y = u v
2 3

y v = 2 x + 8x + 7 Si hacemos u = 5 x − 3 x Aplicando la regla del producto y sustituyendo en ladefinición del teorema 1 obtenemos,
2 3

y ' = uv'+ vu ' y ' = (5 x 2 − 3x)(6 x 2 + 8) + (2 x 3 + 8 x + 7)(10 x − 3)
Desarrollando y simplificando operaciones obtenemos,

y ' = 30 x 4 − 18 x 3 − 24 x 3 + 40 x 2 − 24 x + 20 x 4 − 6 x 3 + 80 x 2 − 24 x + 70 x − 21 y ' = 50 x 4 − 24 x 3 + 120 x 2 + 22 x − 21
Si observamos el ejemplo anterior, en realidad no necesitamos la regla del producto a finde calcular la derivada de la función dada. Se puede calcular la primera derivada, eliminando los productos del lado derecho y expresando a y como una suma de potencias de x. y = (5x2 – 3x) (2x3 + 8x + 7) y = 10x5 – 6x4 + 40x3 – 24x2 + 35x2 – 21x y’ = 10(5x4) – 6(4x3) + 40(3x2) – 24(2x) + 35(2x) – 21(1) y’ = 50x4 – 24x3 + 120x2 + 22x – 21

Ejemplo. Dada f(t) = ( 2 t + 1)(t + 3), determine...
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