Calculo

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TRABAJO DE CALCULO DIFERENCIAL

TEMA: FUNCIONES

PRESENTADO POR: JOSE ANTONIO PRADA RODRIGUEZ

FUNCIONES MATEMATICAS

¿ que es función matematica?

En matematicas, una función,1 aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y(el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominiof(x). Se denota por: Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones. DEFINICION: Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación ocorrespondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:

Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir,

Jose Antonio prada rodriguez grupo BN

Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, siCLASIFICACION DE LAS FUNCIONES

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:
 



Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva. Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva. Una función que sea inyectiva y sobreyectivasimultáneamente, se denomina biyectiva .

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre específico. 'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación .






la función es suprayectiva osobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución. la función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución. la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Jose Antonio prada rodriguez grupo BN

FUNCION INYECTIVA:

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente unúnico elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes ala función, las y no las repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabal de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y ( las ordenadas ) se repiten o no. De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple algunade las dos afirmaciones equivalentes:




Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1 = x2. Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumple

Los siguientes diagramas corresponden a función inyectiva:

Cardinalidad e inyectividad:

Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:Jose Antonio prada rodriguez grupo BN

Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Ejemplo 1: Determinar si la siguiente función es o no es iinyectiva f(x) = x2 – 2

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos. X F(x) 2 -2 -1 -1 0 -2 1 -1 2 2

Jose Antonio prada rodriguez grupo BN

Ejemplo2:

Determinar si la siguiente función es o no es inyectiva g(x) = 1 – x3

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

X G(x)

-2 9

-1 2

0 1

1 0

2 -7

Jose Antonio prada rodriguez grupo BN

FUNCION SOBREYECTIVA:

Sea f una función de A en B, f es una función epiyectiva ( también llamada sobreyectiva) si y solo si cada elemento de B es imagen...
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