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En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptosprincipales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
Contenido
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• 1 Funciones reales de una variable real
o 1.1 Continuidad de una función en un punto
o 1.2 Continuidad lateral
o 1.3 Continuidad de una función en un intervalo
o 1.4 Algunas funciones continuas importantes
 1.4.1 Funciones definidas por intervalos 1.4.2 Función racional
o 1.5 Derivada y continuidad
o 1.6 Teoremas sobre funciones continuas
o 1.7 Clase de continuidad
• 2 Funciones continuas en espacios topológicos
• 3 Véase también

Funciones reales de una variable real [editar]

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos(x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y,tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)
El mayor elemento de J' se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

Continuidad de una función en un punto [editar]

Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en unpunto Xo en el dominio de la función
si: tal que para toda x en el dominio de la función:

Otra manera más simple Si Xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en Xo
si y sólo si

En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función; f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando xtiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además coinciden con f(x1).
Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:
• Existe f(x1):

• existe el límite por la izquierda:

• existe el límite por la derecha:

• El límite por la derecha por la izquierda y el valor de la función coinciden:

Es decir:el límite de la tasa de variación es cero cuando el incremento de la variable independiente, h, tiende a cero:



Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .
Sif ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenesque se salen de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Continuidad lateral [editar]

Una función f es continua por la izquierda en el punto x = x1 si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura.
Una función f es continua por la derecha en el punto x = x1 si su límite...
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