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Álgebra

R.Criado y A.Gallinari 2003

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Álgebra

Introducción
En sus orígenes, el álgebra clásica era el arte de resolver ecuaciones (la palabra álgebra proviene de un vocablo árabe que signica reducción). El álgebra moderna está caracterizada por el estudio de ciertas estructuras abstractas que tienen en común una gran variedad de objetos matemáticos. El calicativo abstracto sereere al resultado de realizar el proceso de abstracción sobre las propiedades observables de ciertos objetos matemáticos, es decir, el proceso consistente en separar la forma del contenido. La estructura principal objeto de estudio en esta publicación es la de espacio vectorial. Las aplicaciones de esta estructura incluyen virtualmente todas las áreas de la ciencia. Se incluye una aplicación de losespacios vectoriales relacionada estrechamente con el mundo de la informática y las telecomunicaciones, en concreto a la teoría de códigos y se estudian varias técnicas y herramientas de interés para otras aplicaciones. Este volumen viene acompañado por un libro de Prácticas y Problemas con el sistema Maple V, disponible en versión digital, que contiene una ampliación y completa la descripción delos conceptos teóricos. Las prácticas permiten el desarrollo y la experimentación con los aspectos más numéricos y están diseñada para potenciar el empleo de la notable capacidad de visualización gráca que ofrece el programa Maple V. A cada tema teórico y práctico hemos añadido ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. Los principales objetivos didácticos que intentamos conseguir son que ellector:

• aprenda y utilize correctamente técnicas y métodos propios del álgebra lineal. • vea la descripción de algunas aplicaciones a la Informática. • comprenda y aplique algunos métodos numéricos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de aproximación de autovalores y autovectores. • aprenda a utilizar el programa Maple V (como ejemplo de sistema de computación simbólica) en susaplicaciones al álgebra lineal.
Algunos apartados de esta publicación (sobre todo en la parte de ejercicios) son una adaptación del material contenido (unas veces sin modicarlo, otras proponiendo variaciones de ello) en la bibliografía incluida.

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Agradecimientos
Queremos agradecer al profesor Luis E. Solá Conde por su participación en la corrección de estas notas y laelaboración de los enunciados de varios ejercicios propuestos en este libro. Gracias también a los profesores Alejandro J. García del Amo Jiménez y Begoña Jiménez Martín por la elaboración de los enunciados de varios ejercicios propuestos y a los alumnos que han señalado erratas y errores en versiones previas de esta publicación.

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Índice General
1 Sistemas de ecuaciones lineales,matrices y estructuras algebraicas 9
1.1 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y eliminación gaussiana 1.1.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales . . . 1.1.2 Sistemas homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Transformaciones elementales por las. Introducción al método de Gauss-Jordan . . . . . . . . 1.1.4 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.5 Estrategia para la aplicación del método de eliminación gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Método de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices y operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Propiedades del producto dematrices . . . . . . . . . . 1.2.4 El producto de una matriz por un escalar . . . . . . . . 1.2.5 El anillo de matrices cuadradas Mn (K) . . . . . . . . . 1.2.6 Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Matrices elementales y un método para hallar A−1 . . . Estructuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 El concepto de operación . . . . . . . . . ....
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