Calculo

UNIDAD I
TEOREMA FUNDAMENTAL DE CÁLCULO.

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas.
Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.
= (x1y1+x2y2+x3y3+x4y4……………+XnYn)

1.2 Notación sumatoria
El sumatorio o la sumatoria es un operando matemático quepermite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega sigma (Σ), y se define como:
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Esto se lee: "Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i", o bien "sumatoria de i, desde i = m a n, de x sub-i"
La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteroshasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacerlo de esta forma:

También hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula como esta:

Losoperadores de suma son útiles para expresar sumas de forma analítica; esto es, representar todos y cada de los sumandos en forma general mediante el "i-ésimo" sumando. Así, para representar la fórmula para hallar la media aritmética de n números, se tiene la siguiente expresión:

Algunas fórmulas de sumatoria
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Algunas fórmulas relacionadas* Se puede expresar el número e, con una sumatoria:

* Para calcular el número armónico:

* Para calcular un subfactorial:

* Para calcular cualquier integral definida, pero éste, es un método aproximado:

* Éste sumatorio puede expresarse como función cuadrática:

1.3 Sumas de Riemann

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo lascurvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierdahasta abajo a la derecha.
En matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
Definición
Consideremos lo siguiente:

* una función
Donde D es un subconjunto de los números reales
* I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
* Un conjunto finito depuntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
Crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

Donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma deRiemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.


1.4 Definición de la integral definida

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos ynegativo cuando toma valores negativos.

La integral definida se representa por .
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

1.5 Teorema de existencia

En matemáticas, un teorema de...