Calculo

Método de Newton Raphson
Este método parte de una primera aproximación xn y mediante la aplicación de una fórmula recursiva se acerca a la raíz de la ecuación, de manera tal que la nuevaaproximación xn +1 se localiza en la intersección de la tangente a la curva de la función en el punto xn y el eje de las abscisas.
y

y=f(x)

f(xn)

θ
a xn+1 xn

Sabemos que Y que por definicióntan(θ ) = f ′( xn )

tan(θ ) =

f ( xn ) xn − xn +1
f ( xn ) xn − xn +1

Es decir
f ′( xn ) =

Y entonces
f ( xn ) ; n = 0,1, 2,… f ′( xn ) Para determinar en qué casos converge este método, seusará el mismo criterio que en el del punto fijo: f ( x) h( x ) = x − f ′( x) Y si para una τ en el intervalo xn −1 < τ < a se cumple que h′(τ ) < 1 entonces el método converge en la n-ésimaiteración. Para fines prácticos aplicaremos el mismo criterio de convergencia que en el método del punto fijo. Aunque el método casi siempre converge a la solución en un número reducido de iteraciones, acontinuación se enlistan algunos de los casos de divergencia más comunes: xn +1 = xn −

1. Círculo vicioso. Cuando al utilizar xn se obtiene por la tangente un valor xn +1 que al sustituir en la fórmularecursiva regresa al mismo valor xn . 2. Indeterminación. Cuando evaluamos la fórmula en un punto donde la función tiene un máximo o un mínimo. 3. Aparente divergencia. Cuando la aproximación inicialx0 está muy alejada del valor real de la raíz, es posible que en las primeras iteraciones el método proporcione valores aparentemente divergentes y, sin embargo, el método conduzca después de algunasiteraciones a la solución. La interpretación geométrica del método de Newton-Raphson es muy similar a la del punto fijo: a partir de una aproximación inicial x0 , se dirige una recta vertical hacia lacurva y=f(x), se traza una tangente y se toma como x1 el punto de intersección entra la tangente y el eje de las abscisas; de nuevo, verticalmente a la curva, etc. El algoritmo del método...