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Apuntes de Ecuaciones diferenciales
Ricardo Faro 29 de marzo de 2008

´ Indice general
I Ecuaciones diferenciales ordinarias
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XV

1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial 1.1. Conceptos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.2. Elhaz de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . 1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente . . . . . . . . . 1.4. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Campo tangente a soporte. . . . . . . . . . . 1.4.3. Campo a soporte universal. . . . . . . . . . . 1.5. Espacio cotangente. La diferencial . . . . . . . . . . 1.5.1.Interpretaci´n geom´trica de la diferencial. . o e 1.5.2. Fibrado cotangente. . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Uno formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Campos gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Cambio de coordenadas. . . . . . . . . . . . .1.8.2. Ecuaciones diferenciales no aut´nomas. . . . o 1.8.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. . 1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . 1.9.1. Desintegraci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.9.2. Reproducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.9.3. Ley de Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.4. El p´ndulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e

11 6 12 17 17 22 23 24 26 27 28 31 32 35 36 37 38 39 39 39 40 41

2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales 53 2.1. Grupo uniparam´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 e 2.2. Existencia de soluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 o

i

II

´ INDICE GENERAL 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. Aplicaciones Lipchicianas . . . . . . . . . . . . . . Unicidad de soluci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . o Grupo Uniparam´trico de un campo . . . . . . . . e Grupo Unip. de campos subidos . . . . . . . . . . . Diferenciabilidad del grupo unip. . . . . . . . . . . 2.7.1. Clasificaci´n local de campos no singulares. o 2.8. Campos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Corchete de Lie de campos tangentes . . . . . . . . 2.10. Derivada de Lie de campostangentes . . . . . . . . 2.11. M´todo de Lie para resolver ED . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 63 66 71 73 78 80 84 86 90

3. Campos tensoriales en un espacio vectorial 107 3.1. Tensores en un mdulo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.2. Campos tensoriales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.3. Derivada deLie de un campo tensorial . . . . . . . . . . . 112 3.4. Campos tensoriales Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.5. La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.6. El Lema de Poincar´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 e 3.6.1. Aplicaci´n en Ecuaciones diferenciales. . . . . . . . 130 o 3.6.2. Factores de integraci´n. . . . . . . . . . . . . . . .131 o 3.7. Ap´ndice. Ejemplos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . 133 e 3.7.1. Tensor m´trico y tensor de volumen del espacio e eucl´ ıdeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.7.2. Divergencia, rotacional y gradiente. . . . . . . . . . 134 3.7.3. Interpretaci´n geom´trica del rotacional. . . . . . . 137 o e 3.7.4. Tensores de torsi´n y de curvatura. . . . . . . . . . 138 o3.7.5. El tensor de una variedad Riemanniana. . . . . . . 139 3.7.6. El tensor de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.7.7. La fuerza de coriolis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.7.8. El tensor de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4. Campos tangentes lineales 4.1. Ecuaciones diferenciales lineales . 4.2. Existencia y unicidad de soluci´n o 4.3. Estructura de las...
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