calculo

MOISES VILLENA MUÑOZ

Cap. 4 Aplicaciones de la Integral

4
4.1
4.2
4.3
4.4

ÁREAS DE REGIONES PLANAS
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
LONGITUD DE UNA CURVA PLANA
VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN

Objetivo:
Se pretende que el estudiante calcule áreas de regiones planas generales,
volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una curva plana

65

MOISES VILLENA MUÑOZ

Cap. 4Aplicaciones de la Integral

4.1 AREAS DE REGIONES PLANAS
4.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA
En el capítulo anterior se mencionó que para calcular el valor del
área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una
suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una
integral definida.
Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando
sólo una particiónrepresentativa, un rectángulo diferencial que
represente a cualquier partición de la región plana

El área del elemento diferencial será:

dA= hdx= f (x)dx
b

Por tanto, el área de la región plana es: A =

∫

f ( x ) dx

a

4.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS
Si la región plana tuviera la siguiente forma:

El área del elemento diferencial será: dA = hdx = [ f ( x) − g ( x)]dx
66

Cap. 4Aplicaciones de la Integral

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b

Entonces el área de la región plana esta dada por: A =

∫[

f ( x) − g ( x )]dx

a

CONCLUSIÓN:
Para hallar el área de una región plana, siga los
siguientes pasos:
1. Dibuje las curvas dadas.
2. Identifique la región plana. Aquí se definen los
límites de integración.
3. Defina el rectángulo diferencial, el elementorepresentativo.
4. Defina la integral o las integrales para él área.
5. Evalúe la integral definida.
Ejemplo 1
⎧y = x + 4
⎪
Calcular el valor del área de la región limitada por ⎨
⎪y = x2 − 2
⎩
SOLUCIÓN:
PASO 1: Graficamos en un mismo plano y = x + 4 y y = x − 2
2

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas.
PASO 3: Definimos el elementodiferencial.

x + 4 = x2 − 2
x2 − x − 6 = 0
(x − 3)( x + 2) = 0
x=3 ∨

x = −2

PASO 4: La integral definida para el área sería:
3

A=

∫

[(x + 4) − (x

2

)]

− 2 dx

−2

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

67

Cap. 4 Aplicaciones de la Integral

MOISES VILLENA MUÑOZ

3

A=

∫

[(x + 4) − (x

2

3

)]

− 2 dx =

−2

∫

[− x

2]

+ x + 6 dx

−2

3

⎞
⎛ x3 x2
= ⎜−
+
+ 6x ⎟
⎟
⎜ 3
2
⎠ −2
⎝
⎞
⎞ ⎛ (− 2 )3 (− 2 )2
⎛ 33 3 2
+
+ 6(− 2 )⎟
= ⎜−
+
+ 6(3) ⎟ − ⎜ −
⎟ ⎜
⎜ 3
⎟
2
3
2
⎠ ⎝
⎝
⎠
9
8
= −9 + + 18 − + 2 − 12
2
3
5
A=
6

Ejemplo 2
⎧
⎪ y = x 3 − x 2 − 6x
Calcular el valor del área de la región limitada por ⎨
⎪y = 0
⎩
SOLUCIÓN:
PASO 1: Dibujamos y = x3 − x 2 − 6 x
PASO 2:Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con
el eje x.
PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

(

x3 − x 2 − 6 x = 0

)

x x2 − x − 6 = 0
x(x − 3)( x + 2) = 0
x=0 ∨ x=3 ∨

PASO 4: La integral definida para el área sería:
0

A=

∫

[(x

3

)

]

− x − 6 x − (0) dx +
2

−2

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:68

3

∫
0

[(0) − ( x

3

]

− x 2 − 6 x dx

x = −2

Cap. 4 Aplicaciones de la Integral

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0

A=

∫ [(

]

)

x 3 − x 2 − 6 x − (0) dx +

−2
0

=

3

∫

[x

∫[

]

(0) − ( x 3 − x 2 − 6 x dx

0

3

3

]

− x 2 − 6 x dx +

−2

∫

[− x

3

]

+ x 2 + 6 x dx

0

0

3

4
3
2 ⎞
⎛
⎛ x4 x3
x2 ⎞
⎟+ ⎜− x + x + 6 x ⎟
=⎜
−
−6
⎜
⎜ 4
3
2 ⎟
3
2 ⎟
⎠0
⎠ −2 ⎝ 4
⎝

⎡ ⎛ (− 2)4 (− 2 )3
(− 2)2
= ⎢0 − ⎜
−
−6
3
2
⎢ ⎜ 4
⎣ ⎝
8
81
= −4 − + 12 − + 9 + 27
3
4
253
A=
12

⎞⎤ ⎡⎛ 3 4 3 3
32
⎟⎥ + ⎢⎜ −
+
+6
⎟⎥ ⎢⎜ 4
3
2
⎠⎦ ⎣⎝

⎤
⎞
⎟ − (0)⎥
⎟
⎥
⎠
⎦

4.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y
Si la región plana tuviese la siguiente forma:

Es más conveniente tomar el...