Calculo

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A.1

Solution of (a) M(x,y) = 2x-1, N(x,y)=3y+7

and so the given equation is exact.
Apply procedure of solution 2.2 for finding the solution.
Put Integrating and choosing h(y) as the constant of integration we get

and by integrating with respect to y we obtain

The solution is

3.
Differentiate the dx coefficient with respect to y
d/dy (2xy^2-3) = 4xydifferentiate the dy coefficient with respect to x
d/dx (2x^2y+4) = 4xy

The DE is exact.

Integrate the dx coefficient with respect to x
2(x^2/2)y^2 + h(y)
= x^2y^2 + h(y) -----(1)

differentiate the above with respect to y
2x^2y + h'(y)
Equate this expression to the dy coefficient in the problem
2x^2y + h'(y) = (2x^2y+4)
h'(y) = 4
h(y) = 4y

plug this h(y) into (1)
The solution is :x^2y^2 + 4y = C


9.
Primero demuestras que la función es exacta.
Se ve que es de la forma:
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
donde
P(x,y) = tan(x) -sin(x)sin(y)
Q(x,y) = cos(x)cosx(y)

La ecuación es exacta si se cumple Py = Qx, donde
Py = derivada parcial de P con respecto de y
Qx = derivada parcial de Q con respcto de x

Py = -sin(x)cos(y)
Qx = -sin(x)cos(y)

por lo que es exacta. Ahorapodemos encontrar una función F(x,y) tal que
Fx= P
Fy = Q

usando la formula
F = ∫Qdy + δ(x)
donde δ(x) es una función que solo depende de x

integrando tenemos que
F = cos(x)sin(y) + δ(x) +c, donde c es la constante de integración

para calcular δ(x), usamos la igualdad Fx = P
Fx = derivada parcial de F con respecto de x de (cos(x)sin(y) + δ(x) +c)
Fx = -sin(x)sin(y) + δ'(x), dondeδ'(x) es la derivada de δ
entonces
-sin(x)sin(y) + δ'(x) = P = tan(x) -sin(x)sin(y)
δ'(x) = tan(x)
integrando, se tiene
δ(x) = - ln|x| + c

por lo tanto, la solución a la ecuación es
F(x,y) = cos(x)sin(y) - ln|x| + c

Espero te ayude.





7.
x dy/dx = 2xe^x - y + 6x^2 /dx

x dy = (2xe^x - y + 6x^2)dx
Ordenando:

( y - 6x^2 - 2xe^x)dx + x dy= 0

Ahora:

M(x,y) = df/dx = (y - 6x^2 - 2xe^x)
N(x,y) = df/dy = x

Para que sea D.T.E. se cumple que: dM/dy = dN/dx

En este caso:
dM/dy = 1
dN/dx = 1

Por lo tanto es un D.T.E

Ahora, para resolver la ecuación... tenemos la siguiente fórmula:

F(x,y) = integral (M(x,y))dx + g(y)

En este caso sería:
F(x,y) = integral(y - 6x^2 - 2xe^x)dx +g(y)
F(x,y) = xy - 2x^3 - 2xe^x + 2e^x + g(y) (1)


** Comentario:integral(2xe^x) se resuelve usando el método de la vaca, haciendo u = 2xdx y dv = e^x


Ahora sólo falta determinar g(y)

Pero por fórmula tenemos que:
g`(y) = N(x,y) - (d/dy)(integral (M(x,y))dx)

En este caso sería:
g`(y) = x - (d/dy)(integral(y - 6x^2 - 2xe^x)dx)
g`(y) = x - (d/dy)(xy - 2x^3 - 2xe^x + 2e^x )
g`(y) = x - x
g`(y) = 0 /integramos con respecto a y
g(y) = d
Ahora quetenemos nuestro g(y) lo reemplazamos en (1)

F(x,y) = xy - 2x^3 - 2xe^x + 2e^x + d

Como F(x,y) es una constante, nos queda:
f = xy - 2x^3 - 2xe^x + 2e^x + d (donde f y d son constantes)
Desarrollamos:
xy - 2x^3 - 2xe^x + 2e^x = f - d
Como f - d es una constante la reemplazamos por c

xy - 2x^3 - 2xe^x + 2e^x = c

Ordenando para dejarla como en el libro:
xy - 2xe^x + 2e^x - 2x^3= c

Ojalá te sirva ;

4

the question is (x-y^3+ysinx)dx = (3xy^2+2ycosx)dy

i solve and i got that it is exact
because
My is -3y^2+2ysinx and Nx is -3y^2+2ysinx
since m and n are equal then they are exact


then i started with M

integral of (x-y^3+y^2sinx)dx + g(y)

it got x^2/2 -xy^3-y^2cosc + g(y)

then i took derivative of it wrt y

-3xy^2-2ycosx + g'(y) = Nthen -3xy^2 + integral g'(y)= integral of -3xy^2 dy

then g(y) = xy^3 -xy^3 +c

then i got

f(x,y)= 1/2x^2 - xy^3-ycosx+xy^3 = c

but when i check the back of the book
their answer was

xy^3+y^2cosx-1/2x^2 =c

respuesta 2

This is exact, because (d/dy) (y^3 - y^2sinx - x) = (d/dx)(3xy^2 + 2ycosx).

First, we integrate the dx coefficient with respect to x:
xy^3 + y^2...
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