Calculo

Comencemos planteando uno de los típicos problemas que abundan por internet en el que nos dan una serie de números y nos piden averiguar el siguiente. Ahí va:
Calcular el término siguiente de la siguiente serie:
[pic]
En principio la respuesta parece evidente, ¿verdad? Pues cuidado.
Supongamos que tenemos una circunferencia y vamos escogiendo puntos de la misma trazando posteriormentetodos los posibles segmentos que conectan un par de puntos de los elegidos (exigimos que en ningún caso tres de estos segmentos se corten en un mismo punto, gracias Asier) contando después en cuántas regiones queda dividido el círculo que determina la circunferencia. Si escogemos sólo 1 punto no se pueden trazar segmentos y por tanto tendremos una única región. Si hemos escogido 2 puntos sepuede trazar sólo un segmento y por tanto nos quedarán dos regiones. Si tenemos 3 puntos podemos trazar 3 segmentos que dividen al círculo en 4 regiones. Y así sucesivamente.
En el siguiente gráfico se puede ver con más claridad:
[pic]
Podemos ver en cuántas regiones queda dividido el círculo trazando los segmentos de la manera antes descrita: 2 regiones para dos puntos, 4 regiones para tres,8 regiones para cuatro y 16 regiones para cincoo (el caso cero, un punto, cero segmento y por tanto una región, no está contemplado en el gráfico pero es evidente).
Volvamos a preguntar: ¿qué número es el siguiente de la serie? Es decir, ¿en cuántas regiones queda dividido un círculo cuando trazamos todos los segmentos posibles que unen pares de puntos entre seis escogidos en unacircunferencia? ¿Y si tomamos siete puntos?
Pues el tema parece llevarnos a lo siguiente:
Si llamamos [pic]al número de regiones obtenidas con [pic]puntos parece ser[pic]:
1 punto [pic]región
2 puntos [pic]regiones
3 puntos [pic]regiones
4 puntos [pic]regiones
5 puntos [pic]regiones
Con lo cual, para seis puntos tendríamos 32 regiones.
Pero la realidad es otra: con seis puntos obtenemos 31regiones. La sucesión que nos da el número de regiones a partir del número de puntos no es [pic], sino que es la siguiente:
[pic]
Si la usamos para calcular el número de regiones vemos que va coincidiendo con la serie…hasta que llegamos a seis puntos. Ahí da 31 cuando debería dar 32. Además, conforme aumentamos el número de puntos los valores de las dos sucesiones van distando cada vez más.Os dejo una tabla con los resultados:
|[pi|[pic]|[pic] |
|c] | | |
|1 |1 |1 |
|2 |2 |2 |
|3 |4 |4 |
|4 |8 |8 |
|5 |16 |16 |
|6 |31 |32 |
|7 |57 |64 |
|8 |99 |128 |


¿Conclusión? Pues como reza el título del post: cuidado con la intuición cuando hablamos de inducción. Además, respecto a laintuición no es la primera vez que avisamos.
Números irracionales cebra
Los números irracionales son los números reales que no pueden expresarse en forma de fracción. Por tanto estos números tienen infinitos decimales en los cuales no hay un patrón que se repita indefinidamente. A partir de esta definición uno podría pensar que por norma general un número irracional no presentaría patrones de tiporacional en sus, digamos, cien primeros dígitos. Si consideráramos esos supuestos patrones como rayas los números irracionales que tuvieran esa propiedad serían los que denominaríamos números irracionales cebra.
Pues los hay, claro que sí. Vamos a ver algunos de ellos:
[pic]
cuyo desarrollo es el siguiente:

y continúa sin presentar ningún otro patrón más en los siguientes dígitos.
[pic]en cuyo desarrollo se repiten los patrones [pic], [pic], [pic], [pic], [pic]y [pic]. Como el plugin de [pic]no lo coge entero os dejo parte del número:
2307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\ 30769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769\
2307692307692307692307692307692307692307692307692,30769230769230769230769230769\...