calculo

El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .
, en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores y , siendo , el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.

2 existen los triples productos
9.7.1 Producto triple
La forma más simple eimportante de multiplicar tres vectores , y (¡con convención de suma en cada caso!) entre sí es el producto escalar del producto vectorial con un tercer vector, el llamado
producto triple:

Aquí hemos primero escrito las definiciones de los dos productos, luego hemos utilizado la representación en determinante para el símbolo de Levi-Civita y, después de hacer las tres sumas, hemos usado elhecho que el determinante es homogéneo en las filas, como hemos aprendido en el pasado. De acuerdo a las simetrías del determinante son posibles más formulaciones, en particular por permutaciones cíclicas y reflexiones en la diagonal principal, i.e. las componentes de los tres vectores pueden organizarse en columnas del determinante en vez de filas.
Esta variedad de posibilidades en la formulaciónde determinantes da origen a las muchas identidades en las representaciones del mismo producto triple:


notar que debido a la Ley Conmutativa del producto escalar, los dos signos de multiplicación se pueden intercambiar y por lo tanto se pueden omitir completamente:


La anticonmutatividad del producto vectorial conduce a las siguientes relaciones:



La evaluación del determinanteresulta en un número real:


333333333vector
Triple Producto Escalar
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Sean u, v y w tres vectores no coplanares, entonces forman los lados de un paralelepípedo en el espacio como lo muestra la figura.

El volumen del paralelepípedo está dado por:
* el área de la base, que es el producto cruz de los vectores | v x w|
* y por laaltura h, que es el valor absoluto de la componente de w en la dirección ortogonal al plano | v x w|. De aquí se puede decir que:
El volumen de un paralelepípedo determinado por los vectores u, v y w es:
Volumen = | (u• (v x w)|


Ejemplo
Dados los vectores u = (1, –2, 3); v = (0, 4, 2) y u = (–4, 1, –1), obtenga el volumen del paralelepípedo delimitado por ellos.
Solución
u = (1,–2, 3); v = (0, 4, 2) y u = (–4, 1, –1),
=
| (ux v)•w|=– 6+16+48 = 58 u3
Condición paralelismo entre vectores
No es difícil deducir que dos vectores cuyos componentes son múltiplos (enteros o no) de otro, son paralelos entre sí, de manera que se puede decir que:
Dos vectores no nulos v y w, son paralelos si y sólo si existe un escalar k, diferente de cero, tal que
v = kw
Ejemplo 1
Dados lossiguientes vectores, grafíquelos, compruebe que son paralelos e identifique el valor del escalar.
u = (2, 4, 1), v = (1, 2, ½); w = (–2, –4,–1)

Si k1 = ½, entonces; ku = v
Si k2 = –1, entonces; ku = w
Observe que siempre que los vectores paralelos tienen el mismo origen los vectores son además colineales, sin embargo, la condición de paralelismo se cumple en otras condiciones.444444444444444
-TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar.
-Definición
El triple producto escalar (o también conocido como producto mixto) es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar.
-Propiedades deltriple producto escalar
Entre sus principales propiedades se encuentra el resultado
Donde θ es el ángulo que forman los dos vectores. Usando ese resultado es posible establecer el siguiente criterio para determinar si dos vectores son perpendiculares (ortogonales):
Dos vectores son perpendiculares si y sólo si .
Cuando los vectores son tridimensionales (esto es, son vectores de ) es posible...