Calculo

C APÍTULO

1
Los números reales

1

1.3 Propiedades algebraicas de los números reales
1.3.1 Propiedades básicas
En los números reales se definen dos operaciones, adición y multiplicación, las cuales tienen ciertas
propiedades:

Propiedades

Adición

Multiplicación

Conmutatividad

aCb DbCa

a bDb a

Asociatividad

.a C b/ C c D a C .b C
c/

.a b / c D a .b c /

aC0 Da

a 1Da

a C . a/ D 0

aa

Existencia
neutro

del

elemento

Existencia del elemento inverso

1

D 1 si a ¤ 0

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición
a
1

.b C c/ D .a

canek.azc.uam.mx: 14/ 5/ 2008

1

b / C .a

c/

2

Cálculo Diferencial e Integral I

Al producto de dos números reales a, b lo denotaremos indistintamenteponiendo punto entre ellos:
a b , o : a b o simplemente yuxtaponiéndolos: a b .
Conmutativa.
Ejemplos:
1. 8 C 2 D 2 C 8.

4. 3

6D6

3.

2. a C 3 D 3 C a.

5. a

5D5

a.

3. x 2

1D

1 C x2 .

Asociativa.
Ejemplos:
1. .5 C 2/ C 6 D 5 C .2 C 6/.

4. .3

6/

2. .a C 7/ C g D a C .7 C g/.

5. .5

x2 /

3. .y 2 C c/ C 2 D y 2 C .c C 2/.

6. y

f/

1. 5 C 0 D5.

4. 8

1 D 8.

2. .a C c/ C 0 D a C c .

5. .g C h/

1 D g C h.

3. .ya/ C 0 D ya.

6. .g

1Dg

zD3

.6

z /.

9D5

.x 2

9/ .

h2 D y

.f

h2 /.

Existencia del elemento neutro.
Ejemplos:

h/

h.

Existencia del elemento inverso.
Ejemplos:
1. 7 C . 7/ D 0.

4. 4

2. c C . c / D 0.

5. 15

3. 3b C . 3b/ D 0.

6. h

1

4

15
h

1D 1.
1

D 1.

D 1 si h ¤ 0.

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.
Ejemplos:
1. 7

.a C h/ D .7

a/ C .7

h/ o bien 7.a C h/ D 7a C 7h.

2. b

.5 C c/ D .b

5/ C .b

c / o bien b.5 C c/ D 5b C bc .

3. f h .g C b/ D Œ.f
.f h/g C .f h/b .
2

h/

g  C Œ.f

h/

b  o bien .f h/.g C b/ D

1.3 Propiedades algebraicas de losnúmeros reales

3

Expresiones tales como:
o bien

fŒ.a b / c  d g e

o bien

fŒ.a C b/ C c C d g C e C

abcde

:::

se escriben simplemente así:
aCb Cc Cd CeC

:::

pues son equivalentes y no se prestan a confusión.
Ejemplos:
1. fŒ.3 C a/ C g C 7b g C 5

d D 3 C a C g C 7b C 5

d.

2. fŒ.7 a/ c  d g 2 a c D 7 a c d 2 a c .

1.3.2 Consecuencias
Sean a; b; c; d;números reales:

a C b D a C c ) b D c.

Esta expresión se lee: si a C b D a C c , entonces b D c . Es decir, se puede cancelar un mismo
término de los dos miembros de una igualdad.

a 0 D 0.
a b D a c & a ¤ 0 ) b D c.

Nótese que no podemos cancelar el 0 como factor, pues entonces tendríamos aberraciones del
tipo siguiente:
0 1 D 0 & 0 2 D 0 ) 0 1 D 0 2 ) 1 D 2:
a b D 0 ) a D 0 o bien bD 0.

Esta propiedad se usa para resolver ecuaciones: si logramos factorizar un polinomio de grado
n,
P .x/ D Q.x/R.x/

entonces, resolver la ecuación P .x/ D 0 es lo mismo que resolver las dos ecuaciones Q.x/ D 0
y R.x/ D 0 que no son de grado mayor que n.
Ejemplo:
Se tiene que x 2
.x

3x

10 D .x

5/.x C 2/ D 0 ) x

5/.x C 2/;

5 D 0 o bien x C 2 D 0 ) x D 5 o bien x D

2.Se definen la sustracción y la división como:
a

def

b D a C . b /.
3

4

Cálculo Diferencial e Integral I
a def
Da b
b

1

con b ¤ 0.

Algunas igualdades importantes son:
1
Da
a

1

si a ¤ 0.

Ejemplos:
1.

1
D 3 1.
3

2.

1
D .ab/
ab

1

si ab ¤ 0.

b D 0 , a D b (esta expresión se lee: a

a

b D 0 si y solamente si a D b ).

Ejemplos:
5 D0 , a D 5.

1. a

2. a C b

z D 0 , a C b D z.

a
D 1 , a D b con b ¤ 0.
b
Ejemplos:

2
D 1 , c D 2.
c
z
2. D 1 , z D 6.
6
ac
3.
D 1 , ac D h con h ¤ 0.
h
1.

0 D 0.
1

1

D 1.

. a/ D a.
Ejemplos:
1.
2.
.a 1 /

1

. 10/ D 10.
Π.h

g / D h

3.

Œ .a C b/ D a C b .

g.

D a con a ¤ 0.

Ejemplos:
1. .3 1 /
2. Œ.a
4

1

D 3.

b/ 1 ...