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Páginas: 87 (21733 palabras) Publicado: 19 de junio de 2012
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Pr´logo o
´ Estas son unas notas para el curso de Algebra Lineal 1 dictado en el Ciclo Inicial Optativo - Cient´ ıfico Tecnol´gico en la Regional Norte de la Universidad o de la Rep´blica. u Se encuentra en etapa de elaboraci´n, todav´ est´ muy lejos de una versi´n o ıa a o definitiva, as´ que se ruega la comprensi´n y paciencia del lector. ı o Por cualquier correcci´n o sugerencia escribir afdalmao@unorte.edu.uy o Las secciones marcadas con


son opcionales.

BO RR AD
Federico Dalmao Artigas

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´ Indice general

1. Sistemas Lineales y Matrices

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1.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BO RR AD
1.2.1. Operaciones con matrices 2. Geometr´ en el Espacio ıa

1.1.1. Notaci´n matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . o 1.1.2. El m´todo de escalerizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . e o 1.1.3. Teorema de Rouch´-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1.4. Escalerizando en una computadora . . . . . . . . . . . . .

1.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1.2.3. Ecuaciones matriciales y sistemas lineales . . . . . . . . . . 1.2.4. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Descripci´n vectorial de rectas y planos en el espacio. . . . . . . . o 2.2.1. Sistemasde coordenadas, Ecuaciones param´tricas e ime pl´ ıcitas de rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Posiciones relativas de rectas y planos . . . . . . . . . . . . 2.3. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Federico Dalmao Artigas

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1 1 5 6 13 15 16 17 18 24 25 28 28 33 35 37 40 41

´ INDICE GENERAL 3. Espacios Vectoriales 3.1.Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Subespacio Generado y Conjunto Generador . . . . . . . . . . . . 3.3. Dependencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Bases y Dimensi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Bibliograf´ ıa

iii 1 4 6 8 11 12

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Federico Dalmao Artigas

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Cap´ ıtulo 1

1.1.Sistemas de ecuaciones lineales

BO RR AD
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b, Federico Dalmao Artigas

´ Trat´ndose de un curso de Algebra lineal no sorprender´ que comencemos a a con los sistemas de ecuaciones lineales. Sin embargo, lo haremos brevemente, con un enfoque operacional. Adem´s, al incluirlo al principio de las notas se toma la a opci´n de tratarlos de una forma elemental, m´sdelante, contando con nuevos o a recursos se lograr´ un mayor entendimiento. a En pr´cticamente todos los temas siguientes, resolver los ejercicios nos cona ducir´ a enfrentarnos con sistemas de ecuaciones lineales, por ende es importante a tener claro este tema para poder encarar de lleno las dificultades espec´ ıficas de cada nuevo concepto o problema.

En todo momento supondremos que estamostrabajando sobre un cuerpo F, para fijar ideas el lector puede pensar que F es R o C. Al decir n´mero o escalar u nos estaremos refiriendo a los elementos de este cuerpo. Intuitivamente, una ecuaci´n lineal es una ecuaci´n donde las variables o o aparecen unicamente multiplicadas por constantes y sumadas. Una ecuaci´n lineal ´ o tiene entonces el aspecto

donde a1 , a2 , . . . , ab , b son constantes,los aj : 1 ≤ j ≤ n se llaman coeficientes y b se llama t´rmino independiente, x1 , x2 , . . . , xn son las inc´gnitas o variables. e o Las variables se denotar´n por x1 , x2 , · · · , o y1 , y2 · · · y en caso de ser pocas a m´s sencillamente por x, y, · · · . a El problema consiste en hallar n´meros α1 , α2 , . . . , αn tales que al sustituirlos u en la ecuaci´n, ´sta se verifique. Por ejemplo, los...
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