calculo

C ÁLCULO

DIFERENCIAL E INTEGRAL

DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Francisco Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

I

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C

Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático

Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral

´
Indice general

Prólogo

XVI

Guías de lectura

XX

1. Axiomas de R. Principio de inducción

1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1.Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. . . . . . . . . . . .

1

Axiomas de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1. Axiomas algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.

1.2.2.1.

Relación de orden . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

1.2.3. Desigualdades y valor absoluto

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3.1.

La forma correcta de leer las matemáticas . . . . . . . . . .

7

1.2.3.2.

Una función aparentemente caprichosa . . . . . . . . . . . .

8

1.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5. Ejercicios resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Principio de inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 26
1.4.1. Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. . . . 26

II

Índice general

III

1.4.1.1.

La razón áurea y el pentagrama . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.1.2.

Medimos con números racionales . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.2. Hacer matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.3. Algunas razones paraestudiar matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Capítulo. Lecturas adicionales . . 32
2. Funciones elementales

33

2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1. Funciones polinómicas y funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2. Raíces de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3. Potencias racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.4.Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.5. Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.5.1.

Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.5.2.

Crecimiento demográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.6. Función potencia de exponente real a . . . . . . . . . . . . . . . . ....