Calculo

1.- Que es la diferencial de una función
En el campo de la matemática llamado cálculo diferencial, el diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial dy queda definido por la expresión

donde  es la derivada de f con respecto a x, y donde dx esuna variable real adicional (de manera que dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión

donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales. Así se puede escribir

El significado preciso de las variables dy y dx depende del contexto de aplicación y del nivel derigor matemático requerido. Según consideraciones matemáticas rigurosas modernas, las notaciones dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar un significado geométrico particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significado analítico si el diferencial es considerado como una aproximación lineal alincremento de una función. En aplicaciones físicas, a menudo, se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).
2.- Como se expresa geométricamente la diferencial de una función
el diferencial de y es dy, el cual mide el incremento de la funcion cuando cambia x: 
y se calcula de la siguiente manera: 
dy = f ' (x) dx, donde f ' (x) es la primera derivada de la funcionoriginal. 
Consecuentemente, si pasas dividiendo dx a la izquierda de la igualdad tenemos: dy / dx = f ' (x) 
que es la definicion mas conocida de la derivada de y = f (x) 
3.- Como se simboliza la diferencial de una funcion
Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto,
                                              dy =df(x) = f'(x) · h
4.- que significa la diferencial de “y” y que significa diferencial de “x”
dx es "Diferencial x" y significa que se está integrando respecto a x. Verás que la derivada también puede expresarse como cociente de diferenciales: Ej: 
y=x^2; y'(x)=2x; o también: dy/dx=2x (indica que se está derivando y, que es función de x, respecto a x). 
c es una constante, que puede ser cualquiernúmero natural, pero que conociendo un para de valores de la nueva función obtenida, puede despejarse. 
Ejemplo en integración, que sirve también para derivación: 
Integral de: x^2y^3z; ¿Cómo se resuelve? 
Punto de partida: así no se puede resolver, porque no sé respecto a qué debo integrar (respecto a qué letra, ya que las otras actuarán como números constantes); sigamos el ejemplo con "cuatro" formasdistintas de hacerlo: 
1)x^2y^3z * dx = (x^3y^3z)/3 + c 
2)x^2y^3z * dy = (y^4x^2z)/4 + c 
3)x^2y^3z * dz = (z^2x^2y^3)/2 + c 
4)x^2y^3z * dj = x^2y^3zj + c; (Tener en cuenta que se toma como que j está elevado a la 0 y por lo tanto es =1: 
x^2y^3zj^0 = (x^2y^3zj^1)/1 +c 

Es muy importante tener este concepto bien arraigado porque nos permitirá saber cómo trabajar con CdV (Cambio de Variable): Atención: al cambiar de variable (x por u, debo cambiar también dx por du). 
Ejemplo: 
Integral de: x^2*(x^3-2)^2 dx 
Hago u=x^3-2; du/dx=3x^2; dx=du/3x^2 
Reemplazo AMBAS cosas: (x^3-2) por u; dx por du/3x^2: 
(x^2*u^2*du) / 3x^2; Simplifico: 
u^2*du/3; Integro 
[u^3/(3*3)] +c; devuelvo variable: 
{[(x^3-2)^3] / 9} +c 
También es importante tener este concepto para cuando se hagan integralesmúltiples (la más usada es la integral doble), que nos permite integrar primero respecto a una variable y luego respecto a las siguientes
 



Derivada de una función en un punto
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Función derivada
La función derivada de una función f(x)...