calculo3 solemne 1 2009 1
FACULTAD DE I GE IERÍA CIVIL
I STITUTO DE CIE CIAS BÁSICAS
PAUTA SOLEM E ° 1 DE CÁLCULO III
1. Determine los vectores velocidad y de posición de una partícula que tieneaceleración
ሬԦ ሺ0ሻ = ሺ1, 1, 0ሻ ݉/ ݃݁ݏy posición
ܣԦ ሺݐሻ = ሺ0, 0, −10ሻ ݉/݃݁ݏଶ , velocidad inicial ܸ
inicial ܴሬԦ ሺ0ሻ = ሺ0, 0, 0ሻ.
Solución:
Integramos, respecto de ݐ, la aceleración:
ሬԦ ሺݐሻ =න ܣԦ ሺݐሻ݀ݐ
ܸ
ሬԦ ሺݐሻ = නሺ0, 0, −10ሻ݀ݐ
ܸ
ሬԦ ሺݐሻ = ሺܽ, ܾ, −10 ݐ+ ܿሻ
ܸ
ሬԦ ሺ0ሻ = ሺ1, 1, 0ሻ, se tiene:
Como ܸ
ሬԦ ሺ0ሻ = ሺܽ, ܾ, −10ሺ0ሻ + ܿሻ = ሺ1, 1, 0ሻ
ܸ
Entonces: ܽ = 1, ܾ = 1 y ܿ = 0.
Lavelocidad de la partícula, es:
ሬԦ ሺݐሻ = ሺ1,1, −10ݐሻ ݉/݃݁ݏ
ܸ
Integramos, nuevamente:
0,6 Puntos
ሬԦ ሺݐሻ݀ = ݐሺ ݐ+ ܽ, ݐ+ ܾ, −5 ݐଶ + ܿሻ
ܴሬԦ ሺݐሻ = න ܸ
Como ܴሬԦ ሺ0ሻ = ሺ0, 0, 0ሻ, se tiene:Por lo tanto:
ܴሬԦ ሺ0ሻ = ሺܽ, ܾ, ܿሻ = ሺ0,0,0ሻ => ܽ = ܾ = ܿ = 0
ܴሬԦ ሺݐሻ = ሺݐ, ݐ, −5 ݐଶ ሻ, ݉
0,6 Puntos
2. Halle la longitud de la curva ∁: ܴሬԦ ሺݐሻ = ሺ ݐଶ , sin ݐ− ݐcos ݐ, cos ݐ+ ݐsin ݐሻ, 0 ≤ ߨ ≤ ݐ.
Solución:
La longitud de la curva ∁, se obtiene de:
గ
= ܮන ቛ ሬሬሬԦ
ܴ′ሺݐሻቛ ݀ݐ
Donde ሬሬሬԦ
ܴ′ሺݐሻ = ሺ2ݐ, cos ݐ− cos ݐ+ ݐsin ݐ, − sin ݐ+ sin ݐ+ ݐcos tሻ =
Duración: 90 minutos.
Puntaje: 1,2 puntos cada pregunta.
0,4 Puntos
U IVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE I GE IERÍA CIVIL
I STITUTO DE CIE CIAS BÁSICAS
ሬሬሬԦሺݐሻ = ሺ2ݐ, ݐsinݐ, ݐcos tሻ => ฮ ሬሬሬሬԦ
ܴ′
ܴ ᇱ ሺݐሻฮ = ඥሺ2ݐሻଶ + ሺ ݐsin ݐሻଶ + ሺ ݐcos ݐሻଶ =
Por lo tanto:
= ඥ4 ݐଶ + ݐଶ ሺሺsin ݐሻଶ + ሺcos ݐሻଶ ሻ = √5 ݐ
ሬሬሬԦሺݐሻቛ ݀√ = ݐ5 = ݐ݀ݐ
= ܮ ቛ ܴ′
గగ
√ହ గమ
ଶ
unidades de longitud.
0,4 Puntos
0,4 Puntos
3. (a) Dibuje la región en ℝଷ , limitada superiormente, por el paraboloide = ݖ9 − ݔଶ − ݕଶ
e inferiormente, por el plano = ݖ0.
(b)Encuentre y dibuje los vectores normales a las superficies dadas, que salen de estas
superficies.
Solución:
(a) Las superficies, se pueden escribir, como:
ݖ = ܨ+ ݔଶ + ݕଶ − 9 = 0
y...
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