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Exámenes de Doctorado
1996 – 2009

Recopilación de:
Agustín García Iglesias Emilio Lauret

Junio 2009

Facultad de Matemática, Astronomía y Física Universidad Nacional de Córdoba

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Exámenes de Doctorado

Prefacio

El examen de doctorado (qualifying) es uno de los requerimientos de la Facultad de Matemática, Astronomía y Física (FaMAF) para optar por el título de Doctor enMatemática. En el año 1995 la Dra. María J. Druetta hizo una recopilación de exámenes de doctorado tomados desde la creación de la carrera en 1980 hasta marzo de 1995. El trabajo de archivo de la Dra. Druetta fue realmente excelente ya que se publicaron 68 de los 70 exámenes tomados en ese período de 15 años. Esta publicación pretende continuar y actualizar la tarea de la Dra. Druetta. En nuestrocaso, hemos podido publicar 78 de un total de 111. Los exámenes faltantes pertenecen principalmente a la época 19962000. El contenido matemático de los exámenes aquí reproducidos se mantiene el al de los originales. Sin embargo, nos hemos permitido hacer algunas modicaciones en la presentación de los mismos, siguiendo una línea estética propia. La idea de hacer esta recopilación surgiónaturalmente cuando los autores, al prepararse para rendir este examen, lamentaron no contar con exámenes más recientes. Esperamos que los futuros doctorandos encuentren en las páginas de este libro el entrenamiento y la conanza necesarios para sobrellevar esta primera prueba en el camino al doctorado. Agradecemos a todos los profesores de esta facultad que restaron minutos de su tiempo para ayudarnosen la tarea, buscando los exámenes que ellos hubieran tomado. Agradecemos también a la Comisión Editora de Publicaciones de Matemática su aporte para llevar a cabo esta publicación.

Los autores. Junio, 2009.

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Exámenes de Doctorado

Contenidos

Prefacio 1 Funciones complejas 2 Funciones reales 3 Estructuras algebraicas 4 Álgebra lineal numérica 5 Análisis funcional 6Variedades diferenciables 7 Topología algebraica 8 Estadística 9 Ecuaciones diferenciales 10 Álgebra universal 11 Teoría elemental de Lie 12 Reglamentos y programas

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CAPÍTULO 1

Funciones complejas

Agosto 2009
El examen se aprueba sumando al menos 50 puntos.

1. (16pt.)
(a) Sea u una función armónica en Ω = {z : |z| < R} y continua en Ω tal que u≡ 0 sobre el borde ∂Ω. Probar que u ≡ 0 en Ω. (b) Sea f (z) analítica en una región A ⊃ D = {z : |z| ≤ 2} tal que f (∂D) ⊂ iR. ¾Qué puede armar sobre f ? Justicar.

2. (17pt.) Sea A = {z : |z + i| < 1} ∩ {z : |z − 1| < 1}. Mostrar que existe (construir)
una aplicación conforme de A sobre el disco unitario U = {z : |z| < 1}.

3. (17pt.)
(a) Sea f (z) analítica en un abierto A ⊃ U = {z :|z| ≤ 1}, que satisface |f (z)| < 1, ∀z ∈ ∂U . Probar que f tiene exactamente un punto jo en el disco unitario U = {z : |z| < 1}. (b) ¾Verdadero o falso? Para todo n ≥ 3, la ecuación ez = nz n tiene n soluciones en el disco unitario U . Justicar.

4. (17pt.)
(a) Sea Ω una región de C y {fn } una sucesión de funciones analíticas en Ω tal que fn → f uniformemente sobre subconjuntos compactos deΩ. Probar que f es analítica en Ω y que fn → f uniformemente sobre subconjuntos compactos. (b) Mostrar que f (z) =


¾Admite f una extensión analítica a un abierto A

n=0

ze−nz es analítica en {Re(z) > 0} y calcular f (z). {Re(z) > 0}? Justicar.

5. (17pt.)
(a) Sea f (z) una función analítica en la franja F = {z : a < Im(z) < b}, que satisface f (z + 1) = f (z) para todo z ∈ F . Mostrarque f admite el desarrollo


f (z) =
−∞

cn e2πinz , z ∈ F,
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y que éste es uniformemente convergente en Fε = {z : a + ≤ Im(z) ≤ b − ε}, ∀ ε > 0. Dar la fórmula integral de los coecientes cn , n ∈ Z en términos de f . ˜ (Ayuda: probar que f (e2πiz ) = f (z) dene una función analítica en una corona, luego aplicar Laurent). (b) ¾Verdadero o falso?
+∞...
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