Calulo

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uanl

ciencias básicas

fime

CAPÍTULO I
1.1- ANTIDERIVADAS
F(x) es una antiderivada de f(x) si F’(x) = f(x). La regla para calcular antiderivadas se deducen de las correspondientes para las derivadas, por ejemplo: La antiderivada de Kf(x) donde K es una constante, es KF(x). La antiderivada de f(x) + g(x) es: F(x) + G(x), donde F’(x) = f(x) y G’(x) = g(x).

x n +1 . n +1 Si F(x) es unaantiderivada de f(x),entonces a F(x) +C se le llama la antiderivada más general de f(x), siendo C cualquier constante.
La antiderivada de f(x) = xn donde n es diferente de –1, es F(x) =

PROBLEMAS RESUELTOS
Hallar la antiderivada más general para las funciones dadas: 1.- f(x) = 3x 4 , F(x) = 3 x 4+1 +C 4 +1
x +1 +C 5 +1 4
5 4

,

F(x) =

3 5 x +C 5
4 4 x +C 9
9

2.- f(x) = 4 x 5 =x

5 4

,

F(x) =

,

F(x) =

3.- f(x) =

4 = 4x−3 x3

,

F(x) =

4 x −3+1 +C , − 3 +1

F(x) = − 2 x −2 + C
x 0+1 +C 0 +1

4.- f(x) = 8

,

f(x) = 8 x 0

, F(x) = 8

, F(x) = 8x + C

5.- f(x) = 3x2-x+2 ,

F(x) = 3

x3 x2 x2 − + 2 x + C , F(x) = x 3 − + 2x + C 3 2 2

1 6.- f(x) = 2 + 2 x − 1 , x

f(x) = x − 2

x −1 x2 +2 − x+C + 2 x − 1 , F(x) = 3 −1 21 2

3

F(x) =

−1 4 2 + x − x+C x 3
3

1

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7.- f(x) = 4 x 3 −

3 + x

3

x2 ,
1 5

f(x) = 4 x 3 − 3 x

−1

2

+x

2

3

x4 x 2 x 3 F(x) = 4 −3 + +C 1 5 4 2 3

F(x) = x 4 − 6 x

1

2

+

3 53 x +c 5

8.- f(t) = t

−1

2

+ 2t

4

5

− t −4 + 1
1 9

t 2 t 5 t −3 +2 − +t +C F(t) = 1 9 5 −3 2

F ( x) = 2t1

2

+

10 9 5 t −3 t + +t +C 9 3

9.- f(t) =

t 3 − 2t + 1 , t
7 3

f(t) = t
1

5

2

− 2t

1

2

+t

−1

2

t 2 t 2 t 2 −2 + +C F(t) = 7 3 1 2 2 2

F(t) =

1 2 7 2 4 32 t − t + 2t 2 + C 7 3

⎛1 ⎞ 10.- f(z) = ⎜ + 2 z ⎟ , z ⎝ ⎠

2

f(z) =

1 + 4 + 4z 2 , z2

f(z) = z − 2 + 4 + 4 z 2 4z 3 −1 + 4z + +C z 3

F(z) =

z −1 z3 + 4z + 4 + C 3 −1F(z) =

11.- f(x) =

x 2 + 5x + 6 , x+3

f(x) =

(x + 3)(x + 2) ,
x+3

f(x) = x + 2 , F(x) =

x2 + 2x + C 2

12.- f(x) =

3

27 x ,

4

f(x) = 3x ,
3

4

x 3 + C, F(x) = 3 7 3

7

F(x) =

9 73 x +C 7

2

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EJERCICIO 1.1
Encontrar la antiderivada más general de la función dada.

1.- f(x) = x 3 −

1 x +1 2

2.- f(x) =1 1 + 3 x 2 + 4 x −3 + 2 2 x

3.- f(x) =

1 2 + 1 − 3 8x 2 5 x x 2

4.- f(x) =

x2 + x −1
3

x2
2

5.- f(x) = x −1 + 2 x 2 + x x3 + x − 2 x −1

(

)(

)

1⎞ ⎛ 6.- f(x) = ⎜ x − ⎟ x⎠ ⎝ 8.- f(t) =

7.- f(x) =

(t

2

+ 3t + 2 (t − 4 ) (t + 1)

)

1.2.- INTEGRAL INDEFINIDA Y CAMBIO DE VARIABLE
A la antiderivada más general de una función f(x), también se le llamaantidiferencial o integral indefinida y se denota con el signo de la integral sin usar los límites, es decir:

∫ f ( x)dx = F ( x) + C ,
Así:

siempre que F ' ( x) = f ( x)

∫ f ( x)dx = Una función (2.2) ∫ f ( x)dx = Un número
(2.1)
b a

Como dijimos a (2.1) se le llama la integral indefinida de f(x) y a (2.2) la integral definida de f(x) desde “a” hasta “b”, sin embargo a las dos formasse les acostumbra llamar simplemente la integral de f(x), teniendo en cuenta lo que representa en cada caso, con esta notación:
n ∫ x dx =

x n +1 +C , n +1

n ≠ -1

En algunos casos esta fórmula no se puede aplicar directamente sino mediante un cambio de variable, como se verá en los ejemplos siguientes.

3

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PROBLEMAS RESUELTOS
En los siguientesejercicios se calculan algunas integrales . 1.-

∫ (x

3

+ 2 x + 1 dx =

)

x4 + x2 + x + C 4
3 1

−1 1 1 x 2 x 2 2 3 1 ⎞ ⎛ 2.- ∫ ⎜ x + + + C = x 2 + 2x 2 + C ⎟dx = ∫ ⎛ x 2 + x 2 ⎞dx = ⎜ ⎟ 3 1 ⎝ ⎠ 3 x⎠ ⎝ 2 2

3.-

∫ (1 + x )

150

dx haciendo u = 1 + x , du = dx dx = ∫ u
150

∫ (1 + x )
4.-

150

(1 + x ) u 151 du = +C = 151 151

151

+C

∫ (x + 2)
dx
dx
3...
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