Cambio de estado

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1.

Modelos Expresados en Variables de Estado

1.

Modelos Expresados en Variables de Estado_________________________ 1

1.1. Introducción________________________________________________

_________________________________________________________ 2 1.2. Definición ____________________________________________________________

_______________________________________________ 2 1.3. FormaGeneral ____________________________________________________________

___________________________________________ 9 1.4. Solución ____________________________________________________________

_______________________________________________ 10 1.5. Formas Canónicas. Un Ejemplo ____________________________________________________________

____________________________ 11 1.6. Resumen____________________________________________________________

______________________________________________ 16

02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 1

1.1. Introducción En la representación como función de transferencia no se consideran las variables internas No es práctica en sistemas con más de una entrada y una salida 1.2. Definición Estado: conjunto de variables que describen a un sistema entodo instante. No hay una única representación para un mismo sistema Las variables de estado no necesariamente tienen interpretación física El número de estados coincide con el número de polos de la función de transferencia (en los sistemas SISO)

02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 2

Ejemplo 1.1. Tanque Agitado
Fi , Ti

h

Fst
T
Q

F ,T

Masa total en el tanque

ρV = ρ Ahdonde

ρ : densidad del líquido (se supone independiente de la temperatura)
V : volumen del líquido
A, h : área del recipiente y altura del líquido
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 3

E = U ( int ) + K ( cin ) + P ( pot )
como el tanque no se mueve

dK dP dE dU = = 0, = =0 dt dt dt dt
para líquidos

dU dt

dH dt

siendo H la entalpía total del líquido en el tanque y es,H = ρVc p (T − Tref ) = ρ Ahc p (T − Tref )
donde

c p : capacidad calórica del líquido en el tanque Tref : la temperatura a la cual la entalpía específica es cero.

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Se definen las siguientes variables de estado: parámetros constantes: ρ , A, c p , Tref Balance de masa:

xT = [ h T ]

d ( ρ Ah ) = ρ Fi − ρ F dt & Ah = F − F
i

Fi , F :caudales de entrada y salida

Balance de energía:

Acum. de energía energía de entrada energía de salida energía del vapor = − + tiempo tiempo tiempo tiempo dH d  ρ Ahc p (T − Tref )   = ρFc T −T − ρFc T −T + Q =  i p( ref ) i p( ref ) dt dt
siendo Q la energía calórica por unidad de tiempo del vapor suponiendo Tref = 0

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A

dhT Q = FTi − FT+ i dt ρcp

A

dhT dT dh dT Q = Ah + AT = Ah + T ( Fi − F ) = FTi − FT + i dt dt dt dt ρcp dT Q = Fi (Ti − T ) + dt ρcp

Ah

Las ecuaciones de estado son:

&  Ah = Fi − F  Q  & AhT = Fi (Ti − T ) +  ρcp 
variables de estado:

xT = [ h T ] yT = [ h T ] u T = [Q F ] Fi ] d T = [Ti

variables de salida (medidas):

variables de entrada (manipuladas): perturbaciones (nocontroladas): parámetros constantes: ρ , A, c p , Tref

02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 6

Analizar: - equilibrio - una reducción de Ti - una reducción de Fi Linealización en un punto de trabajo. Equilibrio

&  Ah = Fi − F = 0  Q  & =0 AhT = Fi (Ti − T ) +  ρcp 

Fi = F = F0 F0 (Ti 0 − T0 ) = − Q0 ρcp

02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 7

desarrollo en serie entorno al puntode equilibrio & & dh dh 1 1 1  Fi F  & h= −  + ( Fi − F0 ) + ( F − F0 ) = ( Fi − F0 ) − ( F − F0 ) = ( Fi − F ) dF A A A  A A  0 dFi

  & = Fi (T − T ) + Q =  Fi (T − T ) + Q  + T i ρ c p Ah  Ah i ρ c p Ah  0 Ah   T −T F F + i Fi − Fi 0 ) + i (Ti − Ti 0 ) − i (T − T0 ) + ( Ah 0 Ah 0 Ah 0 1 + ρ c p Ah  F Q  1 i ( Q − Q0 ) −  (Ti − T ) +  2  ( h − h0 ) A ρcp A  h   ...
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