campo vectorial

1.1. Campos Vectoriales.
Las funciones, ampliamente empleadas en la ingeniería, para modelar
matemáticamente y caracterizar magnitudes físicas, y cuyo dominio podría ser
multidimensional, pueden tener un rango unidimensional o multidimensional. El primer
tipo de funciones (rango unidimensional) se define como campo escalar, y esta se
corresponde a una magnitud física que requiere sólo de unnúmero para su
caracterización. Un campo escalar, por tanto, es una función, escalar, cuyo valor
depende del punto que se estudie. Un ejemplo de este tipo de funciones puede ser la
distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, la presión ejercida sobre un cuerpo
por un fluido, o un potencial eléctrico. Por otro lado, un campo vectorial se corresponde
con el segundo tipo de funciones(rango multidimensional) en donde una magnitud
física requiere de un vector para su descripción, como puede ser, por ejemplo, el flujo
de un fluido o un campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas.

Definición. Un campo vectorial en ℜn es una función F : A ⊆ ℜ n → ℜ n que asigna a
cada

punto

X = ( x1 , x2 ,

F ( X ) = ( F1 ( X ) , F2 ( X ) ,

, xn )

de

su

dominio

A

unvector

, Fn ( X ) ) .

Si F : A ⊆ ℜ2 → ℜ2 , entonces se denomina como campo vectorial en el plano, a esta
función F ( x, y ) definida para puntos en ℜ2 hacia el conjunto de vectores
bidimensionales, y se escribe

 F ( x, y ) 
F ( x, y ) =  1
 = F1 ( x, y ) i + F2 ( x, y ) j
 F2 ( x, y ) 
En donde, F1 ( x, y ) y F2 ( x, y ) son funciones escalares.

Si F : A ⊆ ℜ3 → ℜ3 ,entonces se denomina como campo vectorial en el espacio, a esta
función F ( x, y, z ) definida para puntos en ℜ3 , hacia el conjunto de vectores
tridimensionales, denotándose de la siguiente manera

 F1 ( x, y, z ) 


F ( x, y, z ) =  F2 ( x, y, z )  = F1 ( x, y, z ) i + F2 ( x, y, z ) j + F3 ( x, y, z ) k
 F3 ( x, y, z ) 


En donde, F1 ( x, y, z ) , F2 ( x, y, z ) y F3 ( x, y, z) son funciones escalares.

En la Figura 1 se muestra una forma esquemática de representar un campo vectorial, de
ℜn → ℜn
F

F(X)

X

A ⊆ ℜn

ℜn

Figura 1. Representación esquemática de un campo vectorial
definido por F : A ⊆ ℜn → ℜ n

Sin embargo, para visualizar de una manera mejor lo que el campo representa en ℜn , se
preferible dibujar el vector X ∈ A ⊆ R n como un puntosobre el espacio ℜn y a
F ( X ) ∈ R n como un vector sobre ese mismo espacio, como se presenta en la siguiente

figura.
F(X)

X

A ⊆ ℜn
Figura 2. Representación de un campo vectorial en ℜn ,
definido por F : A ⊆ ℜn → ℜ n

La representación de un campo vectorial bidimensional en el plano cartesiano, se realiza
representando un conjunto de vectores F ( x, y ) para varios puntos ( x, y )del dominio,
representando el vector F ( x, y ) = ( F1 ( x, y ), F2 ( x, y ) ) de tal manera que el punto inicial
del vector esté localizado en ( x, y ) ; este procedimiento también puede ser aplicado para
la representación de un campo vectorial en el espacio.
EJEMPLO 1. Represente gráficamente los campos vectoriales definidos de la manera

que se muestra a continuación:
a) F : ℜ2 → ℜ2 / F (x, y ) = ( − y, x )
b) G : ℜ3 → ℜ3 / G ( x, y, z ) = ( − y, x, z )
Solución.

a) Para representar este campo vectorial se evaluará algunos puntos ( x, y ) en la función
F ( x, y ) , como por ejemplo F (1,1) = ( −1,1) , F ( −1,1) = ( −1, −1) , F ( −1, −1) = (1, −1) y
F (1, −1) = (1,1) . Luego tomamos, el primer vector resultante

teniendo como punto inicial al punto

(1,1) .

( −1,1)y se grafica

Aplicando sucesivamente este

procedimiento con los otros vectores se obtiene la representación gráfica del campo
vectorial que se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Representación gráfica de un campo vectorial en el plano.

b) Para obtener la representación gráfica de este campo vectorial se evaluarán algunos
puntos

( x, y , z )

en

G ( −1,1,1) = ( −1, −1,1) ,...