Campos escalares y vectoriales

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TEMA 2
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CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

1. Vector función de un escalar

Un vector A es función del escalar u si lo es alguna de sus componentes:
A(u) = Ax(u)i + Ay(u)j + Az(u)k (1)
Al dar valores a u vamos obteniendo una serie de vectores A ; se trata de una aplicación de Ren R3 , u A(u).
Si tomamos todos los vectores con origen en O, sus extremos dibujan una curva en el espacio, llamada indicatriz, de ecuaciones paramétricas Ax = Ax(u) ; Ay = Ay(u) ; Az = Az(u).

Figura 1

El parámetro u representa un escalar cualquiera, pero frecuentemente se tratará del tiempo t. Del mismo modo, el vector A puede describir muchas magnitudes físicas. Si representa la posiciónr de un punto o partícula, la indicatriz, r(u), será su trayectoria.

2. Derivada e integral de un vector

Para un valor u del escalar el vector A viene dado por la ecuación (1). Si se incrementa la variable en un u, el vector tomará un valor incrementado,
(2)
Restando (1) de (2) tenemos:
A = A(u + u) - A(u) = Axi + Ayj + Azk (3)

donde Ax = Ax(u + u) - Ax(u) y análogamente para lascomponentes Ay y Az.
La derivada de A se define como el límite al que tiende el cociente A/u cuando el incremento de la variable se hace cada vez más pequeño; es decir:
(4)
Dicho de otro modo, la derivada de un vector es otro vector cuyas componentes son las derivadas de las componentes del primero:
(5)
El vector derivada es tangente a la curva indicatriz, ya que A/u tiene la mismadirección que A (PQ, en la figura 2); y cuando u 0 , los extremos de A(u) y A(u + u) se aproximan (Q tiende a P) y la recta PQ tiende a hacerse tangente a la curva en P.

Figura 2

Reglas de derivación

La derivación de vectores tiene propiedades similares a las que cumplen los escalares. Así, si tenemos los vectores A(u) , B(u) y la función escalar f(u) se verifica:

a) Derivada de lasuma de vectores:
(6)

b) Derivada del producto por un escalar:
(7)

c) Derivada de un producto escalar:
(8)

Ejemplo 1: Demostrar que si un vector función de un escalar tiene módulo constante su derivada es otro vector perpendicular al primero.

Si A(u) tiene módulo constante,
A(u)·A(u) = A2 = cte (9)
Por tanto, la derivada de este productodebe ser cero:
(10)
Como A 0 y dA/du 0 el producto escalar de los dos vectores sólo puede ser nulo si son perpendiculares:
(11)

d) Derivada de un producto vectorial:
(12)

Como operación inversa de la derivación, se define la integral de un vector A(u) = = Ax(u)i + Ay(u)j + Az(u)k como otro vector cuyas componentes son las integrales de las componentes delprimero:
(13)

3. Campos escalares.

Una función escalar que toma valores en los puntos del espacio se dice que es una función escalar de punto; o más simplemente, un campo escalar.
A cada punto P (x , y , z), la función le hace corresponder un número (x , y , z); es
una aplicación de R3 en R. Aunque no es necesario que esté expresada en función de las coordenadas cartesianas, será lo máshabitual.

El conjunto de todos los puntos del espacio donde el campo toma un determinado valor o forman una superficie equiescalar, cuya ecuación será:
(x , y , z) = o (14)
Las superficies equiescalares pueden representar puntos que tienen la misma temperatura (isotermas), el mismo potencial (equipotenciales) o cualquier otra magnitud escalar.
Si el campo está definido enun plano las equiescalares serán líneas en vez de superficies. Un ejemplo lo tenemos en las curvas de nivel de un mapa topográfico. En este caso, la función es la altura H de cada punto P del plano de coordenadas (x , y): H = f(x , y).

Figura 3

Los puntos que tienen la misma altura (H1, por ejemplo) forman una línea equiescalar de ecuación  f(x , y) = H1 . Proyectando determinadas líneas o...