Campos Finitos

Campos Finitos
Roberto G´mez C´rdenas
o
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March 24, 2009

Roberto G´mez C´rdenas
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1

Aclaraci´n
o

La mayor parte de este material proviene del cap´
ıtulo 4 Finite
Fields del libro:
Cryptography and Network Security, Principles and Practices
William Stallings
Ed. Prentice Hall
3a. Edici´n, 2003
o
ISBN: 0-13-091429-0
P´ginas: 103-137
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2

Tipos de n´meros
u
N´meros naturales N : usados para cuantificar objetos
u
N = {1, 2, 3, ...}
N´meros enteros Z : se a˜ade 0 y todos los n´meros que
u
n
u
aparecen al cambiar el signo a los naturales
Z = {... − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
N⊂Z
N´meros racionales Q : se incorporan las fracciones
u
a
Q = { b |a, b ∈ Z y b = 0}
Z ⊂Q
N´merosirracionales I : todos los n´meros decimales cuya
u
u
parte decimal tienen infinitas cifras no periodicas
N´meros reales R : uni´n n´meros racionales e irracionales
u
ou
R =Q ∪I
N´meros imaginarios: Im: resultados de obtener la ra´
u
ız
cuadrada de un n´mero negativo.
u
N´meros complejos: par de n´meros, uno de tipo real y otro
u
u
de tipo imaginario, expresados de la siguienteforma: a ± bi
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Grupos

Un grupo G , algunas veces denotado por {G , •} es un conjunto de
elementos con una operaci´n binaria •, que asocia a cada par
o
ordenado (a, b ) de elementos en G un elemento (a • b ), de tal
forma que los siguientes axiomas se deben cumplir:
1

Cerradura Si a y b pertenecen a G, entonces a • b tambien seencuentra en G

2

Asociativa a • (b • c ) = (a • b ) • c para toda a, b , c en G .

3

Elemento de identidad Existe un elemento e en G tal que
a • e = e • a = a para toda a en G .

4

Elemento sim´trico Para cada a en G existe un elemento a
e
en G tal que a • a = a • a = e

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4

Tipos de grupos

1

Grupo finito si el grupo cuentacon un n´mero finito de
u
elementos. El orden del grupo es el n´mero de elementos.
u

2

Grupo infinito el n´mero de elementos es infinito.
u

3

Grupo abeliano si satisface la siguiente condici´n adicional
o
(conmutativa):
a • b = b • a para toda a, b en G
Llamados as´ en honor al matemtico noruego Niels Henrik Abel.
ı

Ejemplos grupos abelianos
El conjunto de enteros (positivos,negativos y cero) bajo la
operaci´n de suma. El conjunto de n´meros reales diferentes a
o
u
cero y bajo la operaci´n de multiplicaci´n.
o
o

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Ejemplos Grupos Abelianos

1

Los conjuntos de n´meros, (Z , +), (Q , +), (R , +) donde la
u
operaci´n + es la adici´n.
o
o

2

(N , +) NO es un grupo ya que no cuenta con neutroaditivo,
ni inverso de cada elemento

3

(R , ×) donde × es la multiplicaci´n, NO es un grupo, ya que
o
el 0 no tiene inverso multiplicativo.

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Grupo c´
ıclico
Se define la exponenci´n dentro de un grupo como la
o
aplicaci´n repetitiva del operador de grupo, de tal forma que
o
a3 = a • a • a
Tambi´n se define: a0 = e como el elementode identidad; y
e
a−n = (a )n .
Un grupo G es c´
ıclico si cada elemento de G es una potencia
ak (siendo k un entero) de un elemento fijo de a ∈ G .
Se dice que el elemento a genera el grupo G , o que es un
generador de G .
Un grupo c´
ıclico siempre es abeliano, y puede ser finito o
infinito.
Ejemplo grupo c´
ıclico
El grupo aditivo de enteros es un grupo c´
ıclico infinito generadopor el elemento 1. En este caso, las potencias son interpretadas
aditivamente, de tal forma que n es el e − nesima potencia de 1.
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7

Anillos
Un anillo A algunas veces denotados por {A, +, x } es un conjunto
de elementos con dos operaciones binarias, llamadas adici´n y
o
multiplicaci´n, de tal forma para todas a, b , c en A los siguientes...