Campos Vectoriales y Escalares

Indice 1. Campos escalares y vectoriales 2. Integral de línea 4. Integrales de superficie 5. Teorema de la divergencia de Grauss 6. Teorema de stokes 7. Bibliografía 1. Campos vectoriales y escalares Campos vectoriales. Un campo vectorial es en Rn es una aplicación F:ARn → Rn que asigna a cada punto x de su dominio A un vector F (x). Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano, y si n =3, F es un campo vectoriales del espacio. Visualizar F adhiriendo una flecha a cada punto (Fig. 4.3.1). En contraste, una aplicación f:A Rn → R que asigna un número a cada punto es un campo escalar. Un campo vectorial F (x,y,z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F1, F2 y F3, así que F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)). De manera análoga, un campo vectorial Rn tiene ncomponentes F1, ..., Fn. Si cada componente es una función Ck, decimos que el campo vectorial F es de clase Ck. Se dará por hecho que los

campos vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que se diga lo contrario.

Figura 4.3.1 Un campo vectorial F asigna un vector F (x) a cada punto x de su dominio. Ejemplo 1 Realizar la descripción del campo vectorial F dado por F (x, y) = -yi + xj.Solución La siguiente tabla muestra los sectores F (x, y) asociados a varios puntos (x, y) señalados en la figura 18.5.
(x, y) (1,3) (-3,1) F(x, y) - 3i +j -i – 3j

(-1, -3) 3i - j (3,-1) i + 3j

(x, y) (1,1) (-1,1)

F(x, y) - i +j -i - j

(-1, -1) i - j (1,-1) i+j

Figura 18.5 Figura 18.6 Para llegar a una descripción de un campo vectorial F se considera un punto arbitrario K (x, y)y se define el vector de posición r = xi + yj de K (x, y) (véase la figura 18.6). Se ve que F (x, y) es ortogonal a r y por lo tanto, es tangente a la circunferencia de radio ||r|| con centro en el origen. Este hecho puede demostrarse probando que r . F (x, y) = 0, como sigue: r . F (x, y) = (xi + yj) . (- yi +xj) = -xy + yx = 0. Además, || F (x, y) || = √y2 + x2 = || r || Por lo tanto, lamagnitud de F (x, y) es igual al radio de la circunferencia. Esto implica que cuando el punto K (x, y) se aleja del origen, la magnitud de F (x, y) aumenta como sucede en el caso de la rueda giratoria de la figura 18.1 La siguiente definición presenta uno de los campos vectoriales más importantes de la física. Definición (18.2). Sea r = xi + yj + zk el vector posición de un punto K (x, y, z). Se dice queun campo vectorial F es un campo de variación inversa al cuadrado de la distancia si F(x, y, z) = c_ u || r ||2 donde c es un escalar y u es un vector unitario que tiene la misma dirección que r y está dado por u = 1_ = r. || r || Ejemplo 2 Describir el campo F (x, y, z) que cumple la definición (18.2) para c < 0. Solución Como u = 1 r y r = xi + yj + zk, ||r|| F (x, y, z) = c_ r = c_____ (xi +yj + zk). ||r||3 (x2 + y2 + z2)3/2 Es más fácil analizar los sectores del campo usando la expresión en términos de r. Como F(x, y, z) es un múltiplo escalar negativo de r, la dirección de F(x, y, z) es hacia el origen O. Además, ||F(x, y, z)|| = | c |_ || u || = | c |_ ||r||2 ||r||2 y por lo tanto, la magnitud de F (x, y, z) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto (x, y,z) al origen O. Esto significa que cuando el punto K(x, y, z) se aleja del origen, la longitud del vector asociado F (x, y, z) disminuye. En la figura 18.7 se indican algunos vectores típicos de un campo F del tipo de "variación inversa al cuadrado".

Definición Se dice que un campo vectorial F es un campo vectorial conservativo si es el gradiente de una función escalar, es decir si F (x, y, z)= s f (x, y, z) para una función f. Teorema Todo campo vectorial del tipo de variación inversa al cuadrado (o de tipo gravitacional) es conservativo. Demostración. Si F es un campo de tipo gravitacional, entonces como en la solución del ejemplo 2, F(x, y, z) = cx____ i + cy____ j + cz____ k (x2 + y2 + z2)3/2 (x2 + y2 + z2)3/2 (x2 + y2 + z2)3/2 para alguna constante c. Según la definición (18.3,...