Cantidad De Movimiento
Páginas: 8 (1839 palabras)
Publicado: 23 de mayo de 2012
PRINCIPIOS DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
ANTECEDENTES
Las deducciones de las ecuaciones de movimiento para cuerpos rígidos se basan en los principios que rigen el movimiento de un sistema de partículas. En esta sección se resumen estos importantes principios generales.
1. Principio de la Fuerza y la Cantidad de Movimiento Lineal
Se comienza por mostrarque la suma de las fuerzas externas sobre un sistema de partículas es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal total. Considere un sistema de N partículas; la mases de la i-ésimapartícula se denota con mi y su vector de posición respecto al origen O de un marco de referencia inercial es ri (7.1).
Sea fijla fuerza ejercida por la i-ésima partícula sobre la j-ésimapartícula y sea fEi la fuerza externa sobre la i-ésima partícula (es decir, la fuerza total ejercida por objetos ajenos al sistema de partículas considerado). La segunda ley de Newton establece que la fuerza toal sobre la i-ésima partícula es igual al producto de su masa por la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal; es decir,
(7.1)
jfij+fiE=ddtmivi,
dondevi = dri/dt es la velocidad dela i-ésimapartícula. Escribiendo esta ecuación para cada partícula del sistema y sumando desde i = 1 hasta N, se obtiene
(7.2)
ijfij+ifiE=ddtimivi
Figura 7.2
Sistema de partículas. El vector ri es el vector de posición de la i-ésimapartícula.
El primer término del lado izquierdo de esta ecuación es la suma de las fuerzas internas sobre el sistema de partículas. Como consecuencia de latercera ley de Newton (fij + fji = 0), este término es igual a cero:
ijfij=f12+f21+f13+f31+…=0.
El segundo término del lado izquierdo de la ecuación (18.2) es la suma de las fuerzas externas sobre el sistema. Denotándolo con F, se concluye que la suma de las fuerzas externas sobre el sistema es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal total:
(7.3)
∑F=ddtimivi
Sea mla duma de las masas de las partículas:
m=imi
La posición del centro de masa del sistema es
(7.4)
imiri
r = ,
m
por lo que la velocidad del centro de masa es
imivi
v=drdt= .
m
Usando esta expresión, se puede escribir la ecuación (18.3) como
∑F=ddt(mv)
La fuerza externa total sobre un sistema de partículas es igual a la razón de cambio del producto de su masatotal por la velocidad de su centro de masa. Dado que cualquier objeto o colección de objetos, incluyendo un cuerpo rígido, se puede modelar como un sistema de partículas, este resultado es uno de los más generales y elegantes de la mecánica. Además, si la masa total m es constante, se obtiene
∑F=ma,
Donde a = dv/dt es la aceleración del centro de masa. Se observa que la fuerza externatotal es igual al producto de la masa total por la aceleración del centro de masa.
2. Principios del momento y la Cantidad de Movimiento Angular
Ahora se obtienen relaciones entre la suma de los momentos debidos a las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas y la razón de cambio de su momento angular total. En la figura 18.2, ries el vector de posición de la i-ésima partícula de unsistema de partículas, r es el vector de posición del centro de masa del sistema y Ri es el vector de posición de la i-ésima partícula respecto al centro de masa. Estos vectores están relacionados por
ri = r + Ri
(7.5)
Figura 7.3
El vector Ri es el vector de posición de la i- ésimapartícula respecto al centro de masa.
Se toma el producto cruz dela segunda ley de Newton para la i-ésima partícula, (ecuación 18.1), por el vector de posición ri y la suma desde i = 1 hasta N, escribiendo la ecuación resultante de la forma
ijrix fij+irixfiE=ddtirix mivi
(7.6)
El primer término del lado izquierdo de esta ecuación es la suma de los momentos respecto a O debidos a las fuerzas ejercidas sobre las partículas por las demás partículas del...
ANTECEDENTES
Las deducciones de las ecuaciones de movimiento para cuerpos rígidos se basan en los principios que rigen el movimiento de un sistema de partículas. En esta sección se resumen estos importantes principios generales.
1. Principio de la Fuerza y la Cantidad de Movimiento Lineal
Se comienza por mostrarque la suma de las fuerzas externas sobre un sistema de partículas es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal total. Considere un sistema de N partículas; la mases de la i-ésimapartícula se denota con mi y su vector de posición respecto al origen O de un marco de referencia inercial es ri (7.1).
Sea fijla fuerza ejercida por la i-ésima partícula sobre la j-ésimapartícula y sea fEi la fuerza externa sobre la i-ésima partícula (es decir, la fuerza total ejercida por objetos ajenos al sistema de partículas considerado). La segunda ley de Newton establece que la fuerza toal sobre la i-ésima partícula es igual al producto de su masa por la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal; es decir,
(7.1)
jfij+fiE=ddtmivi,
dondevi = dri/dt es la velocidad dela i-ésimapartícula. Escribiendo esta ecuación para cada partícula del sistema y sumando desde i = 1 hasta N, se obtiene
(7.2)
ijfij+ifiE=ddtimivi
Figura 7.2
Sistema de partículas. El vector ri es el vector de posición de la i-ésimapartícula.
El primer término del lado izquierdo de esta ecuación es la suma de las fuerzas internas sobre el sistema de partículas. Como consecuencia de latercera ley de Newton (fij + fji = 0), este término es igual a cero:
ijfij=f12+f21+f13+f31+…=0.
El segundo término del lado izquierdo de la ecuación (18.2) es la suma de las fuerzas externas sobre el sistema. Denotándolo con F, se concluye que la suma de las fuerzas externas sobre el sistema es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal total:
(7.3)
∑F=ddtimivi
Sea mla duma de las masas de las partículas:
m=imi
La posición del centro de masa del sistema es
(7.4)
imiri
r = ,
m
por lo que la velocidad del centro de masa es
imivi
v=drdt= .
m
Usando esta expresión, se puede escribir la ecuación (18.3) como
∑F=ddt(mv)
La fuerza externa total sobre un sistema de partículas es igual a la razón de cambio del producto de su masatotal por la velocidad de su centro de masa. Dado que cualquier objeto o colección de objetos, incluyendo un cuerpo rígido, se puede modelar como un sistema de partículas, este resultado es uno de los más generales y elegantes de la mecánica. Además, si la masa total m es constante, se obtiene
∑F=ma,
Donde a = dv/dt es la aceleración del centro de masa. Se observa que la fuerza externatotal es igual al producto de la masa total por la aceleración del centro de masa.
2. Principios del momento y la Cantidad de Movimiento Angular
Ahora se obtienen relaciones entre la suma de los momentos debidos a las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas y la razón de cambio de su momento angular total. En la figura 18.2, ries el vector de posición de la i-ésima partícula de unsistema de partículas, r es el vector de posición del centro de masa del sistema y Ri es el vector de posición de la i-ésima partícula respecto al centro de masa. Estos vectores están relacionados por
ri = r + Ri
(7.5)
Figura 7.3
El vector Ri es el vector de posición de la i- ésimapartícula respecto al centro de masa.
Se toma el producto cruz dela segunda ley de Newton para la i-ésima partícula, (ecuación 18.1), por el vector de posición ri y la suma desde i = 1 hasta N, escribiendo la ecuación resultante de la forma
ijrix fij+irixfiE=ddtirix mivi
(7.6)
El primer término del lado izquierdo de esta ecuación es la suma de los momentos respecto a O debidos a las fuerzas ejercidas sobre las partículas por las demás partículas del...
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