Cap10

Cap´ıtulo 10

Campos conservativos
En este cap´ıtulo continuaremos estudiando las integrales de linea, concentr´andonos en la siguiente pregunta: ¿bajo qu´e circunstancias la integral
de linea de un campo vectorial no depende tanto del camino a lo largo del
que se integra, sino s´olo de los puntos inicial y final de su trayectoria?
Comenzaremos con un resultado que generaliza el teoremafundamental
del c´alculo y que tambi´en es muy u
´til para calcular las integrales de linea
de campos vectoriales que son gradientes (derivadas) de campos escalares;
en este caso la integral del campo vectorial gradiente depender´a solamente
del valor del campo escalar correspondiente en los extremos del camino.
Utilizaremos la siguiente notaci´on: si f : A ⊆ Rn −→ R es un campo escalar
de clase C 1 , sufunci´on derivada se llama tambi´en gradiente, y se denota
∇f (x) = f (x) =

∂f
∂f
∂f
(x),
(x), ...,
(x)
∂x1
∂x2
∂xn

para cada x ∈ A. En este caso se tiene que ∇f : A −→ Rn es un campo
vectorial continuo en A. Rec´ıprocamente, se dice que un campo vectorial
continuo F : A ⊆ Rn −→ Rn es un campo vectorial gradiente si existe un
cierto campo escalar f : A −→ R de clase C 1 tal que F = ∇f . En estecaso
se dice que f es una funci´on o campo potencial para F .
Teorema 10.1 Sean f : A ⊆ Rn −→ R es un campo escalar de clase C 1 , y
γ : [a, b] −→ A un camino C 1 a trozos. Entonces
∇f · ds = f (γ(b)) − f (γ(a)).
γ

Por tanto, si F : A ⊆ Rn −→ Rn es un campo vectorial gradiente y f :
A −→ Rn una funci´
on potencial suya, entonces, para todo par de puntos
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CAP´ITULO 10. CAMPOS CONSERVATIVOS106

p, q ∈ A y para todo camino C 1 a trozos γ con traza contenida en A y que
comience en p y acabe en q, se tiene
F · ds = f (q) − f (p).
γ

Demostraci´
on: Consideremos la funci´on g : [a, b] −→ R definida por
g(t) = f (γ(t)),
cuya derivada es
g (t) = ∇f (γ(t)) · γ (t).
Apligando el teorema fundamental del c´alculo a esta funci´on g obtenemos
lo que deseamos:
b

f (γ(b)) − f (γ(a)) = g(b) − g(a)=

g (t)dt
a

b

b

∇f (γ(t)) · γ (t)dt =

=

∇f · ds.

✷

a

a

Si un campo vectorial puede reconocerse como el gradiente de un campo
escalar, el c´alculo de sus integrales de linea resulta mucho m´as sencillo.
Ejemplo 10.2 Sea γ(t) = (t4 /4, sin3 (πt/2)). Calcular la integral de linea
ydx + xdy.
γ

Sin embargo, a diferencia de lo que ocurre en el caso de funciones de una
variable (donde todafunci´on continua h : [a, b] −→ R tiene una primitiva,
t
a saber, g(t) = a h(s)ds), no todo campo vectorial F : A ⊆ Rn −→ Rn
es un gradiente, es decir, salvo en el caso n = 1, no tiene por qu´e existir
un campo escalar f : A −→ R tal que F = ∇f . Precisamente, un modo de
saber que un campo vectorial F no es un gradiente, es aplicar el teorema
anterior: basta entontrar dos caminos γ1 y γ2 , con losmismos puntos inicial
y final, a lo largo de los cuales las integrales de linea γ1 F · ds y γ1 F · ds
toman valores diferentes.
Ejemplo 10.3 Sea F : R3 −→ R3 el campo vectorial definido por
F (x, y, z) = (xy, y, z).
Probar que no existe ninguna funci´on f : R3 −→ R tal que ∇f = F .

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De hecho, resulta que la condici´on de independencia del camino que nos
da el teorema 10.1 no s´olo es necesaria,sino tambi´en suficiente (al menos
cuando el recinto A tiene una forma sencilla). El siguiente resultado complementan el teorema 10.1, caracterizando los campos gradientes como aquellos
campos vectoriales para los que las integrales de linea s´olo dependen de los
puntos inicial y final del camino sobre el que se integran o tambi´en, si el
dominio sobre el que est´an definidos es convexo, comoaquellos cuyas componentes tienen derivadas parciales que satisfacen una condici´on de simetr´ıa.
Sea F : A ⊆ Rn −→ Rn un campo vectorial continuo, y sea γ : [a, b] −→
A un camino C 1 a trozos. Se dice que γ F · ds es independiente del camino
γ si para cualquier otro camino C 1 a trozos σ : [c, d] −→ A se tiene que
F · ds =
γ

F · ds.
σ

Teorema 10.4 Sea A un abierto de Rn y F : A −→ Rn un campo...