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Cap´tulo 7. C´ lculo diferencial ı a

´ 7.2 El numero e: Capitalizaci´ n continua o
1 El n´ mero e se define como el valor del l´mite lim (1 + x )x . El n´ mero e es irracional, u ı u

es decir, e ∈ Q, y, adem´ s, 2 ≤ e ≤ 3. Una aproximaci´ n del n´ mero e viene dada por la a o u o u expresi´ n decimal 2 71828182845905 (si se intenta calcular una aproximaci´ n del n´ mero e con o 1 unacalculadora de bolsillo calculando el valor de (1 + x )x para x = 1020 probablemente la 1 m´ quina nos devolver´ como resultado 1, ¿a qu´ se debe este error?). La funci´ n f (x) = (1 + x )x a a e o 1 x es creciente y (1 + x ) ≤ e para todo x > 0. El l´mite que define al n´ mero e aparece de forma natural en un sencillo, pero important´simo, ı u ı ejemplo econ´ mico. El concepto m´ s simple enfinanzas es el del valor temporal del dinero: o a 1 euro hoy vale menos que 1 euro dentro de un a˜ o. As´, con un capital inicial C0 podemos n ı realizar todo tipo de inversiones, m´ s o menos arriesgadas, durante un per´odo de tiempo t de a ı manera que al final de este intervalo tendremos el capital C0 m´ s una cantidad adicional, el inter´ s, a e I Ct = C0 + I = C0 (1 + C0 ). Siendo conservadores,podemos prestar nuestro dinero C0 a un banco que nos ofrecer´ un tipo de inter´ s anual determinado r. Distinguiremos varios tipos de inter´ s: a e e El inter´ s simple: El inter´ s recibido se basa tan s´ lo en la cantidad inicialmente invertida. e e o Ct = C0 + rC0 = C0 (1 + r). ˜ El inter´ s compuesto m veces al ano: El inter´ s recibido se basa en la cantidad inicialmente e e ´ invertida y en losr´ ditos que esta va generando en las m etapas. Supongamos en primer lugar e que recibimos los intereses de nuestra inversi´ n una vez cada a˜ o (m = 1). En este caso, al cabo o n del primer a˜ o tendr´amos un capital acumulado de C1 = C0 (1 + r). Al finalizar el segundo a˜ o n ı n tendremos C2 = C1 + rC1 = C1 (1 + r) = C0 (1 + r)(1 + r) = C0 (1 + r)2 . Es f´ cil comprobar que, despu´ s de t [continua]

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